Каков угол, образуемый апофемой с плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 12√3

Для решения данной задачи нам понадобится знание геометрии, а именно формулы для нахождения угла, образуемого апофемой с плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды.

Дано, что высота пирамиды равна 12√3 см, а сторона основания равна 24 см.

Чтобы решить задачу, рассмотрим поперечное сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию и проходящей через апофему. Это даст нам равнобедренный треугольник с высотой, равной апофеме, и основанием, равным половине стороны основания.

Используя теорему Пифагора в треугольнике, где сторона основания равна 24 см, а высота равна половине стороны основания, найдем длину апофемы.

\[
l = \sqrt{24^2 - \left(\frac{24}{2}\right)^2}
\]

\[
l = \sqrt{24^2 - 12^2}
\]

\[
l = \sqrt{576 - 144}
\]

\[
l = \sqrt{432}
\]

\[
l = 12\sqrt{3} \, \text{см}
\]

Таким образом, длина апофемы равна 12√3 см, что соответствует данному условию.

Теперь рассмотрим правильный треугольник, образованный стороной основания, половиной стороны основания и апофемой. Угол, образуемый апофемой с плоскостью основания, является углом в этом треугольнике.

Чтобы найти величину этого угла, воспользуемся тригонометрическими соотношениями. Воспользуемся формулой для тангенса - отношения противолежащего катета к прилежащему.

\[
\tan(\alpha) = \frac{{\text{противолежащий катет}}}{{\text{прилежащий катет}}}
\]

В данном случае апофема является противолежащим катетом, а половина стороны основания - прилежащим катетом.

\[
\tan(\alpha) = \frac{{12\sqrt{3}}}{{12}}
\]

\[
\tan(\alpha) = \sqrt{3}
\]

Теперь найдем угол, обратившись к таблице значений тангенса. Для значения тангенса \(\sqrt{3}\) соответствует угол в \(60\) градусов.

Таким образом, угол, образуемый апофемой с плоскостью основания правильной четырехугольной пирамиды, составляет \(60\) градусов.