1. Яким чином зміниться обсяг піраміди, коли кожну сторону збільшити втричі, а висоту зменшити втричі? Чому саме

Задача 1.

При зміні розмірів піраміди, коли кожну сторону збільшують втричі, а висоту зменшують втричі, обсяг піраміди залишиться незмінним. Це можна пояснити наступним чином:

Обсяг піраміди обчислюється за формулою \(V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot h\), де \(S\) - площа основи, а \(h\) - висота піраміди.

Якщо кожну сторону піраміди збільшити втричі, то площа основи збільшиться в дев"ять разів, оскільки площа багатокутника залежить від довжини його сторін, а площі подібних фігур залежать в квадраті відношення сторін.

Водночас, висоту піраміди зменшать втричі, тобто вона буде становити третину початкового значення.

Тоді формула для обчислення обсягу піраміди при нових розмірах буде виглядати так:
\[V" = \frac{1}{3} \cdot S" \cdot h" = \frac{1}{3} \cdot (9S) \cdot \left(\frac{1}{3} h\right).\]

Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз:
\[V" = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot S \cdot \frac{1}{3} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot S \cdot h = S \cdot h.\]

Таким чином, побачили, що обсяг піраміди при нових розмірах не змінюється, а лише залежить від площі основи та висоти піраміди, як і раніше.

Задача 2.

Для обчислення площі повної поверхні правильно зрізаної чотирикутної піраміди можна скористатися наступною формулою:

\[S = S_{\text{біч}} + S_{\text{осн}},\]

де \(S_{\text{біч}}\) - площа бічної поверхні, а \(S_{\text{осн}}\) - площа основи.

У нашому випадку, площа бічної поверхні буде складатися з двох трикутників, які виникають після зрізання вершини піраміди:

\[S_{\text{біч}} = S_1 + S_2,\]

де \(S_1\) - площа першого трикутника, \(S_2\) - площа другого трикутника.

А площа основи буде площею чотирикутника.

Нам завдано, що сторони основи дорівнюють 3 см і 5 см, а апофема - 4 см.

Почнемо з обчислення площі першого трикутника \(S_1\).

Вважаючи, що \(a\) і \(b\) - сторони основи, а \(h\) - висота піраміди, за теоремою Піфагора, можна знайти \(S_1\) так:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_1,\]

де \(h_1\) - висота першого трикутника.

Застосуємо теорему Піфагора до першого трикутника:

\[h_1^2 = \text{апофема}^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2,\]

\[h_1 = \sqrt{\text{апофема}^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}.\]

Підставимо значення і обчислимо:

\[h_1 = \sqrt{4^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4} - \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{55}{4}} = \frac{\sqrt{55}}{2}.\]

Тепер обчислимо площу першого трикутника:

\[S_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \frac{\sqrt{55}}{2} = \frac{3\sqrt{55}}{4}.\]

Аналогічним чином обчислимо площу другого трикутника \(S_2\):

Його сторона основи дорівнює 5 см, а висота \(h_2\) обчислюється так:

\[h_2 = \sqrt{\text{апофема}^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 - \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{16 - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4} - \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{39}{4}} = \frac{\sqrt{39}}{2}.\]

Площа другого трикутника буде:

\[S_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{39}}{2} = \frac{5\sqrt{39}}{4}.\]

Тепер, обчислимо площу основи \(S_{\text{осн}}\), що є площею чотирикутника зі сторонами 3 см і 5 см:

\[S_{\text{осн}} = 3 \cdot 5 = 15.\]

Отже, площа бічної поверхні може бути обчислена як сума площ першого і другого трикутників:

\[S_{\text{біч}} = S_1 + S_2 = \frac{3\sqrt{55}}{4} + \frac{5\sqrt{39}}{4}.\]

Знаючи площу бічної поверхні та площу основи, обчислюємо площу повної поверхні піраміди:

\[S = S_{\text{біч}} + S_{\text{осн}} = \frac{3\sqrt{55}}{4} + \frac{5\sqrt{39}}{4} + 15 = \frac{3\sqrt{55} + 5\sqrt{39}}{4} + 15.\]

Перевіримо отриманий результат. Оскільки апофема становить 4 см, площа повної поверхні можна знайти за формулою

\[S = \frac{1}{2} \cdot \text{периметр основи} \cdot \text{апофема}.\]

\[S = \frac{1}{2}(3 + 5) \cdot 4 = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 = 16 + 15 = 31.\]

Таким чином, правильного розв"язку задачі має бути \(S = 31\) квадратних сантиметрів, а не 98 або 64, як ви зазначили. Можливо, при обчисленнях сталася помилка. Будь ласка, перевірте наступні кроки та виконайте обчислення знову для впевненості у вірності розв"язку.