Каков угол между вектором полного ускорения и вектором скорости для произвольной точки тела через время t после начала

Давайте посмотрим на решение этой задачи.

Вначале необходимо выразить величины скорости и ускорения через параметр t. Закон вращения φ = at^3 говорит нам о том, что угол поворота тела изменяется с течением времени согласно данному закону.

Чтобы найти вектор скорости, нам необходимо продифференцировать закон вращения по времени. Для этого возьмем производную от φ по t:

\[\frac{{d\phi}}{{dt}} = \frac{{d(at^3)}}{{dt}}\]

Производная по времени от константы a равна нулю, поэтому дифференцируем только t^3:

\[\frac{{d\phi}}{{dt}} = 3at^2\]

Теперь у нас есть выражение для величины угловой скорости (производной угла поворота по времени).

Для определения вектора полного ускорения, мы должны продифференцировать вектор скорости по времени. Но перед этим нужно выразить вектор скорости в терминах угловой скорости.

Вектор скорости связан с угловой скоростью следующим образом: \(v = \omega \times r\), где \(r\) - радиус-вектор от оси вращения до произвольной точки тела.

Предположим, что наше тело вращается вокруг оси \(z\) в трехмерном пространстве. Тогда радиус-вектор \(r\) можно записать как \(r = (R \cdot \cos{\phi}, R \cdot \sin{\phi}, 0)\), где \(R\) - радиус окружности, по которой движется произвольная точка тела.

Теперь мы готовы продифференцировать вектор скорости \(v\) по времени:

\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d(\omega \times r)}}{{dt}}\]

Оператор дифференцирования можно поменять с оператором векторного умножения, что даст нам:

\[\frac{{dv}}{{dt}} = \frac{{d\omega}}{{dt}} \times r\]

Так как \(\omega\) - это угловая скорость (вектор), то его производная по времени - это вектор ускорения \(\alpha\). Заменим \(\frac{{d\omega}}{{dt}}\) на \(\alpha\):

\[\frac{{dv}}{{dt}} = \alpha \times r\]

Подставим выражение для вектора радиус-вектора \(r\) и получим:

\[\frac{{dv}}{{dt}} = \alpha \times (R \cdot \cos{\phi}, R \cdot \sin{\phi}, 0)\]

Далее, мы можем использовать свойство векторного произведения, которое гласит, что \(a \times b = |a| \cdot |b| \cdot \sin{\theta}\), где \(|a|\) и \(|b|\) - это длины векторов \(a\) и \(b\), соответственно, а \(\theta\) - угол между этими векторами.

Так как вектор ускорения \(\alpha\) и радиус-вектор \(r\) являются перпендикулярными друг другу (у нас есть движение вокруг фиксированной оси), то угол \(\theta\) между ними составляет 90 градусов. Таким образом, синус угла \(\theta\) равен 1.

Подставляем это в нашу формулу:

\[\frac{{dv}}{{dt}} = |\alpha| \cdot |r| \cdot 1\]

Теперь у нас есть выражение для величины вектора полного ускорения.

Чтобы найти угол между вектором полного ускорения и вектором скорости, мы можем использовать формулу для скалярного произведения двух векторов: \(a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos{\theta}\), где \(|a|\) и \(|b|\) - длины векторов \(a\) и \(b\), соответственно, а \(\theta\) - угол между ними.

Итак, угол \(\theta\) между вектором полного ускорения и вектором скорости может быть найден следующим образом:

\[\cos{\theta} = \frac{{\alpha \cdot v}}{{|\alpha| \cdot |v|}}\]

Если вы знаете значения вектора ускорения и вектора скорости на заданный момент времени \(t\), то подставьте их в формулу, чтобы найти угол \(\theta\).

Надеюсь, это понятно и полезно для вас!