Каков угол между векторами, заданными точками А(3;-1) В(4;1) С(2;0) D (3;1)?

Для нахождения угла между векторами, заданными точками, нам потребуется использовать формулу для вычисления скалярного произведения векторов:

\[\vec{AB} \cdot \vec{CD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CD}| \cdot \cos(\theta)\]

где \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\) - это векторы от А до В и от С до D соответственно, \(|\vec{AB}|\) и \(|\vec{CD}|\) - длины этих векторов, а \(\theta\) - искомый угол между ними.

Теперь, чтобы найти векторы \(\vec{AB}\) и \(\vec{CD}\), мы должны вычислить разности координат между соответствующими точками. Давайте начнем:

\(\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A)\)
\(\vec{AB} = (4 - 3, 1 - (-1))\)
\(\vec{AB} = (1, 2)\)

\(\vec{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C)\)
\(\vec{CD} = (3 - 2, 1 - 0)\)
\(\vec{CD} = (1, 1)\)

Теперь у нас есть значения векторов \(\vec{AB} = (1, 2)\) и \(\vec{CD} = (1, 1)\), мы можем перейти к вычислению скалярного произведения:

\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (1 \cdot 1) + (2 \cdot 1)\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 1 + 2\)
\(\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 3\)

Чтобы найти длины векторов, мы можем использовать формулу:

\(|\vec{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\)
\(|\vec{CD}| = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}\)

\[|\vec{AB}| = \sqrt{(4 - 3)^2 + (1 - (-1))^2}\]
\[|\vec{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\]

\[|\vec{CD}| = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - 0)^2}\]
\[|\vec{CD}| = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\]

Теперь мы можем подставить значения скалярного произведения и длин в формулу:

\(\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\theta) = 3\)

Для решения уравнения относительно угла \(\theta\) нам нужно найти обратный косинус (арккосинус) от \(\frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}\):

\[\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}\]
\[\theta = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}}\right)\]

Можно использовать калькулятор или таблицу значений функции арккосинус для получения значения угла \(\theta\).