Каков угол между векторами j и a (1;-1; √2)?

Чтобы найти угол между двумя векторами, мы можем использовать формулу скалярного произведения и модулей векторов. Давайте начнем с вычисления скалярного произведения между векторами j и a.

Вектор j представлен в виде (0;1;0), так как j в трехмерном пространстве всегда имеет вторую компоненту равной 1, в то время как остальные равны нулю.

Теперь, мы можем вычислить скалярное произведение между j и a, используя следующую формулу:

\[ \vec{v} \cdot \vec{w} = v1 * w1 + v2 * w2 + v3 * w3 \]

где \(\vec{v}\) и \(\vec{w}\) - это наши векторы, а \(v1, v2, v3\) и \(w1, w2, w3\) - соответствующие компоненты этих векторов.

В нашем случае, \(\vec{v}\) = (0;1;0) и \(\vec{w}\) = (1;-1;√2). Подставляя значения, мы получаем:

\[ \vec{j} \cdot \vec{a} = 0 * 1 + 1 * (-1) + 0 * (√2) = -1 \]

Теперь, чтобы найти модули векторов j и a, мы можем использовать формулу:

\[ |\vec{v}| = \sqrt{v1^2 + v2^2 + v3^2} \]

или в нашем случае:

\[ |\vec{j}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1 \]

\[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + (√2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 2} = \sqrt{4} = 2 \]

Теперь, используя значения скалярного произведения и модулей векторов, мы можем использовать формулу для вычисления угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{|\vec{v}| \cdot |\vec{w}|} \]

где \(\theta\) - это искомый угол между векторами.

Подставляя значения, мы получаем:

\[ \cos(\theta) = \frac{-1}{1 \cdot 2} = \frac{-1}{2} \]

Теперь, чтобы найти значение угла \(\theta\), мы можем воспользоваться обратной функцией косинуса (арккосинус):

\[ \theta = \arccos \left( \frac{-1}{2} \right) \]

Значение этого угла составит приблизительно 120 градусов или \( \frac{2 \pi}{3} \) радиан.

Итак, угол между векторами j и a равен приблизительно 120 градусов или \( \frac{2 \pi}{3} \) радиан.