Каков угол между ребром ad и гранью, если даны координаты вершин пирамиды: а(10,2,-1), в(4,-5,-3), с(8,3,5) и d(0,1,8)?

Чтобы найти угол между ребром ad и гранью пирамиды, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Найдите векторы, соответствующие ребру ad и грани пирамиды.

Вектор ребра ad можно найти, вычитая координаты точки a из координат точки d:

\[\vec{ad} = \vec{d} - \vec{a} = (0, 1, 8) - (10, 2, -1) = (-10, -1, 9)\]

Для нахождения вектора грани пирамиды ABCD нам понадобятся два вектора, например, \(\vec{ab}\) и \(\vec{ac}\). Мы можем найти их, вычтя соответствующие точки:

\(\vec{ab} = \vec{b} - \vec{a} = (4, -5, -3) - (10, 2, -1) = (-6, -7, -2)\)

\(\vec{ac} = \vec{c} - \vec{a} = (8, 3, 5) - (10, 2, -1) = (-2, 1, 6)\)

Шаг 2: Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{ad}\) и \(\vec{n}\), где \(\vec{n}\) - это вектор нормали к грани пирамиды ABCD.

Скалярное произведение двух векторов можно найти, умножив соответствующие компоненты векторов и сложив результаты:

\(\vec{ad} \cdot \vec{n} = (-10, -1, 9) \cdot \vec{n}\)

Найдем вектор нормали к грани ABCD, вычислив векторное произведение \(\vec{ab}\) и \(\vec{ac}\):

\[\vec{n} = \vec{ab} \times \vec{ac} = (-6, -7, -2) \times (-2, 1, 6)\]

Теперь найдем скалярное произведение:

\(\vec{ad} \cdot \vec{n} = (-10, -1, 9) \cdot (-6, -7, -2) = -60 + 7 - 18 = -71\)

Шаг 3: Найдите модуль векторов \(\vec{ad}\) и \(\vec{n}\).

Модуль вектора можно найти, извлекая квадратный корень из суммы квадратов его компонент:

\(|\vec{ad}| = \sqrt{(-10)^2 + (-1)^2 + 9^2} = \sqrt{100 + 1 + 81} = \sqrt{182}\)

\(|\vec{n}| = \sqrt{(-6)^2 + (-7)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 49 + 4} = \sqrt{89}\)

Шаг 4: Найдите косинус угла между ребром ad и гранью пирамиды.

Косинус угла между двумя векторами можно найти, используя следующую формулу:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{ad} \cdot \vec{n}}{|\vec{ad}| \cdot |\vec{n}|}\]

Подставим значения из предыдущих шагов:

\[\cos(\theta) = \frac{-71}{\sqrt{182} \cdot \sqrt{89}}\]

Шаг 5: Найти угол \(\theta\) используя обратную функцию косинуса (арккосинус).

\[\theta = \arccos\left(\frac{-71}{\sqrt{182} \cdot \sqrt{89}}\right)\]

Подсчитаем это:

\[\theta \approx 124.12^\circ\]

Таким образом, угол между ребром ad и гранью пирамиды ABCD примерно равен \(124.12^\circ\).