Каков угол между прямыми AC1 и B1C в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, если известны длины рёбер AB = 6

Чтобы найти угол между прямыми AC1 и B1C в прямоугольном параллелепипеде, сначала нам нужно понять, какая именно плоскость образуется этими прямыми. Для этого давайте построим рисунок и обозначим все известные данные.

Как видно на рисунке ниже:

\[
\begin{gather*}
AB = 6 \\
BC = 4 \\
AA_1 = 3
\end{gather*}
\]


Теперь давайте определим, какая плоскость образуется прямыми AC1 и B1C. Для этого возьмем точку на обеих прямых (например, точки A и C), а также какую-либо другую точку, которая лежит на прямой B1C1. В нашем случае это может быть любая точка на ребре B1C1.

Рассмотрим прямую AC1. Она проходит через точки A и C1. Вектором, направленным от точки A к точке C1, является вектор \( \vec{AC_1} \). Аналогично, для прямой B1C вектор \( \vec{BC} \) будет направлен от точки B1 к точке C.

Чтобы найти косинус угла между этими двумя векторами, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Используя свойство скалярного произведения \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta) \), где \( \theta \) - угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), и \( |\vec{a}| \) и \( |\vec{b}| \) - длины векторов \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \), мы можем записать:

\[ \vec{AC_1} \cdot \vec{BC} = |\vec{AC_1}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle AC_1C) \]

Теперь нам нужно найти длины векторов \( \vec{AC_1} \) и \( \vec{BC} \):

\[ |\vec{AC_1}| = \sqrt{|\vec{AA_1}|^2 + |\vec{A_1C_1}|^2} \]
\[ |\vec{BC}| = \sqrt{|\vec{BA_1}|^2 + |\vec{A_1C_1}|^2} \]

Теперь подставим эти значения в уравнение скалярного произведения:

\[ \sqrt{|\vec{AA_1}|^2 + |\vec{A_1C_1}|^2} \cdot \sqrt{|\vec{BA_1}|^2 + |\vec{A_1C_1}|^2} \cdot \cos(\angle AC_1C) = \vec{AC_1} \cdot \vec{BC} \]

Окончательно, чтобы найти угол между прямыми AC1 и B1C, мы применяем арккосинус крестового произведения:

\[ \angle AC_1C = \arccos \left( \frac{\vec{AC_1} \cdot \vec{BC}}{|\vec{AC_1}| \cdot |\vec{BC}|} \right) \]

Подставляя значения, которые у нас есть, в уравнение, мы получаем:

\[ \angle AC_1C = \arccos \left( \frac{(6)(4)+(3)(3)}{\sqrt{6^2+3^2} \cdot \sqrt{4^2+3^2}} \right) \]

\[ \angle AC_1C = \arccos \left( \frac{24+9}{\sqrt{36+9} \cdot \sqrt{16+9}} \right) \]

\[ \angle AC_1C = \arccos \left( \frac{33}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{25}} \right) \]

\[ \angle AC_1C = \arccos \left( \frac{33}{\sqrt{45} \cdot 5} \right) \]

\[ \angle AC_1C = \arccos \left( \frac{33}{5\sqrt{45}} \right) \]

\[ \angle AC_1C \approx \arccos \left( \frac{33}{5 \cdot 3 \sqrt{5}} \right) \]

\[ \angle AC_1C \approx \arccos \left( \frac{33}{15 \sqrt{5}} \right) \]

Таким образом, угол между прямыми AC1 и B1C составляет \( \arccos \left( \frac{33}{15 \sqrt{5}} \right) \) или, более точно, \( \arccos \left( \frac{33}{5 \sqrt{45}} \right) \).