Каков угол между прямой, проходящей через вектор а (2;1;-1), и плоскостью α: 3х+4у-2z=0? Заранее благодарю

Для решения данной задачи, нам необходимо найти угол между прямой и плоскостью. Для начала, мы можем записать уравнение плоскости в векторной форме, используя нормальный вектор этой плоскости.

Уравнение плоскости \(\alpha: 3x + 4y - 2z = 0\) можно представить в виде \(\boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{r} = 0\), где \(\boldsymbol{n}\) - нормальный вектор плоскости, а \(\boldsymbol{r} = (x, y, z)\) - произвольная точка на плоскости.

Найдем нормальный вектор плоскости. Коэффициенты при переменных \(x, y, z\) в уравнении плоскости являются координатами нормального вектора.
\[ \boldsymbol{n} = (3, 4, -2) \]

Теперь рассмотрим прямую, проходящую через вектор \(\boldsymbol{a} = (2, 1, -1)\). Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, мы должны найти перпендикуляр из точки, принадлежащей прямой, к плоскости. Этот перпендикуляр будет вектором, параллельным прямой.

Пусть \(\boldsymbol{b}\) - искомый вектор, тогда \(\boldsymbol{b}\) будет перпендикулярен вектору \(\boldsymbol{n}\). Следовательно, векторное произведение \(\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{b}\) будет равно нулю (перпендикулярность векторов).

\[\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \\ 3 & 4 & -2 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}(-4 - 1) - \boldsymbol{j}(-6 + 2) + \boldsymbol{k}(8 - 4) = -5\boldsymbol{i} - 4\boldsymbol{j} + 4\boldsymbol{k} \]

Таким образом, у нас имеется система уравнений, где значения координат вектора \(\boldsymbol{b}\) равны -5, -4 и 4:
\[
\begin{cases}
-5 = x\\
-4 = y\\
4 = z
\end{cases}
\]

Отсюда, получаем вектор \(\boldsymbol{b} = (-5, -4, 4)\).

Найдем скалярное произведение векторов \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{b}\):
\[\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = (2, 1, -1) \cdot (-5, -4, 4) = 2 \cdot -5 + 1 \cdot -4 + (-1) \cdot 4 = -10 - 4 - 4 = -18 \]

Для нахождения угла между векторами, используем формулу:
\[\cos \theta = \frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{b}|} \]

Найдем сначала длины векторов \(\boldsymbol{a}\) и \(\boldsymbol{b}\):
\(|\boldsymbol{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}\)
\(|\boldsymbol{b}| = \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{57}\)

Подставим значения в формулу:
\[\cos \theta = \frac{-18}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{57}} = \frac{-18}{\sqrt{342}}\]

Таким образом, угол между прямой, проходящей через вектор \(\boldsymbol{a} (2, 1, -1)\), и плоскостью \(\alpha: 3x + 4y - 2z = 0\) равен \(\theta = \arccos \left( \frac{-18}{\sqrt{342}} \right)\). Для получения численного значения этого угла, воспользуйтесь калькулятором.