Каков угол между плоскостью АВС и плоскостью ф, если сторона ВС треугольника АВС лежит в плоскости а, а вершина

Для того чтобы определить угол между плоскостью АВС и плоскостью ф, мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем векторное произведение векторов, которые лежат в данных плоскостях. Построим векторы \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AB}\).

Вектор \(\overrightarrow{BC}\) можно получить, вычитая координаты вершины С из координат вершины В:
\(\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B}\)

Для нашего случая:
\(\overrightarrow{BC} = (0, 0, 0) - (0, 0, 8) = (0, 0, -8)\)

Вектор \(\overrightarrow{AB}\) можно получить, вычитая координаты вершины B из координат вершины A:
\(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}\)

В данной задаче этот вектор имеет следующие значения:
\(\overrightarrow{AB} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2\sqrt{2}) - (0, 0, 8) = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, -6\sqrt{2})\)

2. Вычислим векторное произведение полученных векторов. Пусть \(\overrightarrow{n}\) будет векторным произведением этих векторов:
\(\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AB}\)

Используя формулу для векторного произведения векторов, получим:
\(\overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 0 & -8 \\ \sqrt{2} & \sqrt{2} & -6\sqrt{2} \end{vmatrix}\)

Выполним вычисления:
\(\overrightarrow{n} = (-8\sqrt{2}, 8\sqrt{2}, 0)\)

3. Вычислим величину вектора \(\overrightarrow{n}\). Она равна длине вектора \(\overrightarrow{n}\) и определяет площадь параллелограмма, образованного векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AB}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{n}\) рассчитывается по формуле:
\(|\overrightarrow{n}| = \sqrt{(-8\sqrt{2})^2 + (8\sqrt{2})^2 + 0^2} = \sqrt{128 + 128 + 0} = \sqrt{256} = 16\)

4. Вычислим площадь треугольника АВС:

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, образованного векторами \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AB}\), а значит:
\(S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{n}| = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8\)

5. Вычислим площадь прямоугольника, образованного проекциями треугольника АВС на плоскость ф.

Площадь прямоугольника можно рассчитать как произведение длин сторон, а значит:
\(S_{ф} = BC \cdot AB = 8 \cdot 8 = 64\)

6. Найдем косинус угла между плоскостью АВС и плоскостью ф по формуле:
\(\cos \angle(\text{плоскость АВС, плоскость ф}) = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{ф}} = \frac{8}{64} = \frac{1}{8}\)

7. Получим значение угла \(\angle(\text{плоскость АВС, плоскость ф})\) из значения косинуса, с помощью обратной функции косинуса:
\(\angle(\text{плоскость АВС, плоскость ф}) = \arccos \left(\frac{1}{8}\right)\)

Подставляя значение в градусах, получим:
\(\angle(\text{плоскость АВС, плоскость ф}) \approx 83.6^\circ\)

Таким образом, угол между плоскостью АВС и плоскостью ф составляет примерно 83.6 градуса.