Каков угол между плоскостями α и β в случае, если АС равно 2√7?

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о векторной алгебре и геометрии. Давайте разберемся пошагово.

1. Введем следующие обозначения:
- Плоскость α обозначим буквой P1.
- Плоскость β обозначим буквой P2.
- Вектор, перпендикулярный плоскости α и β, обозначим буквой n.

2. Мы знаем, что вектор n перпендикулярен и плоскости α, и плоскости β. Следовательно, он должен быть перпендикулярен линии пересечения плоскостей α и β.

3. Для определения вектора n нам нужно найти векторы, параллельные линии пересечения плоскостей α и β. Для этого возьмем произвольные точки на этих линиях.

4. Пусть точка A принадлежит линии пересечения плоскостей α и β. Вектор, проведенный от точки A до точки АС, будет параллелен линии пересечения плоскостей.

5. Чтобы найти вектор АС, воспользуемся координатами концов отрезка АС. Дано, что АС равно 2√7. Представим вектор АС в виде (x, y, z), где x, y и z - координаты конечной точки С.

6. Поскольку АС параллелен линии пересечения плоскостей, вектор АС должен быть коллинеарен вектору n. То есть, мы можем записать следующее равенство:

\[AC = \lambda \cdot n\]

где \(\lambda\) - любая константа.

7. Разложим векторы AC и n на их компоненты по осям x, y и z:

\[AC = (x, y, z), \quad n = (a, b, c)\]

8. Теперь у нас есть система уравнений:

\[\begin{cases} x = \lambda \cdot a \\ y = \lambda \cdot b \\ z = \lambda \cdot c \\ \end{cases}\]

9. Выразим \(\lambda\) из первого уравнения и подставим в два оставшихся уравнения:

\[\begin{cases} \frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c} = \lambda \\ \end{cases}\]

10. Наша цель - найти угол между плоскостями α и β. Для этого нам необходимо найти косинус угла между векторами, перпендикулярными этим плоскостям, то есть найти косинус угла между векторами n и n1, где n1 - вектор, перпендикулярный плоскости α.

11. Используя свойство скалярного произведения, мы можем записать:

\[cos(\theta) = \frac{n \cdot n1}{|n| \cdot |n1|}\]

где \(\theta\) - угол между плоскостями α и β, |n| - длина вектора n, и |n1| - длина вектора n1.

12. Найдем n1. Для этого возьмем произвольную точку P, принадлежащую плоскости α, и проведем вектор, параллельный плоскости α, от точки P до точки P1. Тогда вектор P1P будет перпендикулярен плоскости α.

13. Представим вектор P1P в виде (m, n, p), где m, n и p - его координаты.

14. Теперь у нас есть следующая система уравнений:

\[\begin{cases} m = x1 - x \\ n = y1 - y \\ p = z1 - z \\ \end{cases}\]

где (x1, y1, z1) - координаты точки P1.

15. Используя формулу для косинуса угла между векторами, мы можем вычислить косинус угла между плоскостями α и β:

\[cos(\theta) = \frac{n \cdot n1}{|n| \cdot |n1|}\]

16. Найдем значения n и n1, используя их координаты и уравнения, составленные в пунктах 7 и 14. Подставим эти значения в формулу для косинуса угла.

17. Вычислим значение косинуса угла и найдем сам угол:

\[\theta = arccos(cos(\theta))\]

Таким образом, мы можем найти угол между плоскостями α и β, используя вышеописанные шаги и значения, указанные в условии задачи. Но для этого нам необходимо знать координаты точек С, А и P1, чтобы провести все необходимые вычисления.