Сколько равна длина стороны АС в треугольнике АВС, если известно, что АС равна ВС, АВ равна 14, а тангенс угла А равен

Для решения данной задачи, мы можем использовать теорему синусов, так как у нас есть информация о двух сторонах и угле между ними. Теорема синусов гласит, что отношение длины стороны к синусу противолежащего ей угла одинаково для всех сторон треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что АС равна ВС, что говорит о том, что углы АСВ и СВА равны между собой. Также, задано, что длина стороны АВ равна 14, а тангенс угла А равен \(\frac{3\sqrt{39}}{7}\).

Для начала найдем значение синуса угла А, используя определение тангенса. Тангенс угла А определяется как отношение противолежащего катета к прилежащему. В данном случае противолежащий катет равен 3\(\sqrt{39}\), а прилежащий катет равен 7.

Для нахождения синуса угла А мы можем использовать следующую формулу:

\[
\sin(A) = \frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Зная, что \(\tan(A) = \frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}\), можно определить, что \(\frac{{\text{{противолежащий катет}}}}{{\text{{прилежащий катет}}}} = \frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}\). Для простоты обозначений назовем эту величину \(x\):

\[
x = \frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}
\]

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину стороны АС. Воспользуемся следующей формулой:

\[
\frac{{AB}}{{\sin(A)}} = \frac{{AC}}{{\sin(C)}}
\]

Здесь AB - известное значение, равное 14, AC - искомая величина, а C - угол при противолежащей стороне AC.

Подставим значения в формулу:

\[
\frac{{14}}{{\sin(A)}} = \frac{{AC}}{{\sin(C)}}
\]

Известно, что угол C равен углу АСВ, который также равен углу ВАС, так как АС = ВС. Используя факт, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, можно сказать, что угол В равен 180 минус два угла А. Получаем:

\[
C = 180 - 2A
\]

Таким образом, наша формула принимает вид:

\[
\frac{{14}}{{\sin(A)}} = \frac{{AC}}{{\sin(180 - 2A)}}
\]

Известно, что \(\sin(180 - \theta) = \sin(\theta)\), поэтому можно переписать формулу следующим образом:

\[
\frac{{14}}{{\sin(A)}} = \frac{{AC}}{{\sin(2A)}}
\]

Заметим, что \(\sin(2A) = 2\sin(A)\cos(A)\). Мы уже знаем \(\sin(A)\) (равно \(\frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}\)), чтобы найти \(\cos(A)\), мы воспользуемся теоремой Пифагора:

\[
\cos^2(A) = 1 - \sin^2(A)
\]

\[
\cos(A) = \sqrt{{1 - \left(\frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}\right)^2}}
\]

Теперь мы можем подставить значения в формулу для отношения сторон:

\[
\frac{{14}}{{\frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}}} = \frac{{AC}}{{2\left(\frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}\right)\left(\sqrt{{1 - \left(\frac{{3\sqrt{39}}}{{7}}\right)^2}}\right)}}
\]

Упрощая выражение, получаем:

\[
\frac{{98\sqrt{39}}}{{3\sqrt{39}}} = AC
\]

Таким образом, длина стороны AC равна:

\[
AC = 98
\]

Ответ: Длина стороны AC в треугольнике ABC равна 98.