Каков угол между двумя радиусами, если угол между хордой, связывающей эти радиусы, и одним из радиусов, равен

Чтобы найти угол между двумя радиусами и длину меньшей из ограничивающих её дуг, мы можем использовать следующий пошаговый подход:

1. Рассмотрим угол между хордой и одним из радиусов, равный 1/4 от угла между радиусами. Обозначим этот угол как \(x\).

2. Заметим, что угол между двумя радиусами будет составлять \(4x\), так как он в четыре раза больше угла между хордой и одним из радиусов.

3. Для нахождения угла между двумя радиусами в градусах, мы можем воспользоваться соотношением между длинами дуги и радиусом сектора: \(\text{длина дуги} = \text{угол в радианах} \times \text{радиус сектора}\).

4. Таким образом, длина меньшей из дуг будет равна \(48\pi\) см\(^2\). У нас есть формула для площади сектора: \(\text{площадь сектора} = \frac{1}{2} \times \text{длина дуги} \times \text{радиус сектора}\).

5. Подставив известные значения, мы получаем уравнение \(\frac{1}{2} \times \text{длина дуги} \times r = 48\pi\), где \(r\) - радиус сектора.

6. Решим это уравнение относительно длины дуги: \(\text{длина дуги} = \frac{96\pi}{r}\).

7. Подставив это значение в выражение для угла в радианах, получим \(\frac{96\pi}{r} = 4x\).

8. Далее, мы можем использовать пропорцию углов на окружности. Так как у нас есть соотношение между углами \(x\) и \(4x\), мы можем записать \(\frac{x}{4x} = \frac{\text{длина дуги}}{2\pi r}\).

9. Упростим это уравнение, сократив \(x\) и отразив \(\text{длину дуги}\), и получим \(\frac{1}{4} = \frac{\frac{96\pi}{r}}{2\pi r}\).

10. Упростим ещё больше, избавившись от \(\pi\) в числителе и знаменателе, и получим \(\frac{1}{4} = \frac{48}{r^2}\).

11. Перемножим обе части уравнения на \(r^2\) и решим полученное квадратное уравнение: \(r^2 = 48 \times 4\).

12. Вычислим \(r\): \(r = \sqrt{192}\).

13. Подставим найденное значение радиуса \(r\) в уравнение для длины дуги: \(\text{длина дуги} = \frac{96\pi}{\sqrt{192}}\).

14. Для вычисления этого значения возьмём приближение \(\pi \approx 3.14\) и округлим результат до значений после запятой. Вычислим длину дуги.

15. Найденное значение длины дуги и угол между радиусами будет ответом на задачу. Округлим их до значений после запятой.

Допустимые расхождения в ответах между этапами решения могут быть связаны с округлениями значений после каждого вычисления или использование приближённых значений для числа \(\pi\).