Каков обьем усеченной пирамиды с равными сторонами основания в 2 и 8 см, если угол между боковым ребром и плоскостью

Для решения данной задачи нам потребуется использовать формулу для объема усеченной пирамиды:

\[V = \frac{1}{3}h(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 \cdot A_2})\]

где \(V\) - объем пирамиды, \(h\) - высота пирамиды, \(A_1\) и \(A_2\) - площади оснований.

Для начала найдем нужные параметры пирамиды. Мы знаем, что стороны основания равны 2 и 8 см. Так как у нас равнобедренная пирамида, то боковое ребро будет равно основанию, которое равно 8 см.

Поскольку у нас известна только высота бокового ребра, нам нужно найти высоту пирамиды. Для этого нам потребуется использовать триугольник и взаимосвязь между боковым ребром и высотой пирамиды.

Мы знаем, что угол между боковым ребром и плоскостью большего основания составляет 45°. Так как у нас равнобедренная пирамида, то угол между боковым ребром и высотой пирамиды также будет 45°. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник, где гипотенуза равна 8 см (боковое ребро) и угол между гипотенузой и высотой составляет 45°. Мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

\[h = \cos(45°) \cdot 8\]

Вычислив это, получим:

\[h = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\]

Теперь у нас есть все необходимые данные для решения задачи. Подставим значения в формулу для объема усеченной пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{2} (2^2 + 8^2 + \sqrt{2^2 \cdot 8^2})\]

Выполним вычисления:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{2} (4 + 64 + 16)\]

\[V = \frac{1}{3} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 84\]

\[V = 112\sqrt{2}\]

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен \(112\sqrt{2}\) кубических сантиметров.