Каков угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания, если биссектриса основания равна 3, а боковое ребро

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическими свойствами пирамиды.

Пусть \(ABC\) - основание пирамиды, \(P\) - вершина пирамиды, \(PB\) - боковое ребро, и \(QM\) - биссектриса основания (где \(M\) - середина стороны \(BC\)).

По условию задачи, \(QB = QC = 3\) и \(PB = 4\). Мы хотим найти угол между \(PB\) и плоскостью основания пирамиды.

Вспомним свойство биссектрисы в треугольнике. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. В нашем случае это означает, что отрезок \(QM\) будет равен \(\frac{2}{3}\) от длины стороны \(BC\).

Таким образом, \(QM = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}\).

Рассмотрим треугольник \(\triangle PBM\). У нас есть стороны \(PB = 4\), \(BM = \frac{1}{2}BC = 2\) и \(QM = \frac{8}{3}\), а также угол \(\angle PQB\) между боковым ребром и биссектрисой.

Теперь мы можем воспользоваться теоремой косинусов, чтобы найти угол. Теорема косинусов гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]

Где \(c\) - длина стороны, \(a\) и \(b\) - длины других сторон, а \(C\) - угол напротив стороны \(c\).

Применяя теорему к треугольнику \(\triangle PBM\), мы получаем:

\[PB^2 = BM^2 + QM^2 - 2 \cdot BM \cdot QM \cdot \cos(\angle PQB)\]

Подставляем известные значения и находим значение косинуса искомого угла:

\[4^2 = 2^2 + \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 2 \cdot 2 \cdot \frac{8}{3} \cdot \cos(\angle PQB)\]

\[16 = 4 + \frac{64}{9} - \frac{32}{3} \cdot \cos(\angle PQB)\]

\[16 - \frac{64}{9} - 4 = -\frac{32}{3} \cdot \cos(\angle PQB)\]

\[\frac{128}{9} = \frac{32}{3} \cdot \cos(\angle PQB)\]

\[\cos(\angle PQB) = \frac{128}{9} \cdot \frac{3}{32} = \frac{4}{3}\]

Теперь найдем значение искомого угла, используя обратную функцию косинуса (арккосинус):

\[\angle PQB = \arccos\left(\frac{4}{3}\right)\]

Осталось только вычислить значение этого угла.