Что нужно найти в прямоугольном треугольнике, если его гипотенуза равна 17 см, а радиус вписанной окружности также

Чтобы найти неизвестную величину в прямоугольном треугольнике с заданными данными (гипотенуза и радиус вписанной окружности), мы можем использовать известные свойства треугольника.

В прямоугольном треугольнике гипотенуза соответствует главной диагонали прямоугольника, который образуется двумя катетами треугольника. Нам дана гипотенуза равная 17 см. Обозначим два катета треугольника как \(a\) и \(b\).

Мы также знаем, что радиус вписанной окружности (обозначим его как \(r\)) в прямоугольном треугольнике связан с его площадью (\(S\)) и полупериметром (\(p\)) следующим соотношением:

\[S = p \cdot r\]

Треугольник является прямоугольным, поэтому его площадь можно выразить через длины катетов по формуле \(S = \frac{{a \cdot b}}{2}\).

Давайте сначала найдем длины катетов. Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая устанавливает связь между длинами сторон прямоугольного треугольника:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

Где \(c\) - гипотенуза (в нашем случае 17 см).

Теперь мы можем записать систему уравнений, включающую все эти величины:

\[\begin{cases} a^2 + b^2 = 17^2 \\ S = \frac{{a \cdot b}}{2} \\ S = p \cdot r \end{cases}\]

Также известно, что полупериметр треугольника можно найти по формуле \(p = \frac{{a + b + c}}{2}\). В нашем случае, где гипотенуза равна 17 см, мы имеем:

\[p = \frac{{a + b + 17}}{2}\]

Решим эту систему уравнений:

1. Воспользуемся первым уравнением, чтобы найти значения \(a\) и \(b\):

\[\begin{cases} a^2 + b^2 = 289 \\ S = \frac{{a \cdot b}}{2} \\ S = p \cdot r \end{cases}\]

2. Найдем значение \(p\):

\[p = \frac{{a + b + 17}}{2}\]

3. Подставим значение \(p\) во второе уравнение и найдем площадь \(S\):

\[S = p \cdot r\]

4. Подставим найденную площадь \(S\) в третье уравнение и выразим \(r\):

\[r = \frac{S}{p}\]

После решения этой системы уравнений, мы получим значения \(a\), \(b\) и \(r\). Таким образом, мы найдем все неизвестные величины в прямоугольном треугольнике с заданными данными.