Каков третий член геометрической прогрессии, если сумма прогрессии равна 6, а сумма квадратов ее членов - 18? Какое

Хорошо, давайте решим эту задачу пошагово.

Пусть первый член геометрической прогрессии будет обозначен как $a$, а знаменатель - как $r$. Тогда третий член геометрической прогрессии можно обозначить как $a{r}^2$.

Сумма членов геометрической прогрессии с заданными условиями равна 6. Мы можем записать это в виде уравнения:

$$\frac{a(1-r^3)}{(1-r)}=6(1)$$

Здесь мы используем формулу для суммы геометрической прогрессии.

Также нам известно, что сумма квадратов членов равна 18. Мы можем записать это в виде уравнения:

$$\frac{a^2(r^6-1)}{(r^2-1)}=18(2)$$

Заметим, что формула для суммы квадратов членов геометрической прогрессии отличается от формулы для суммы обычных членов прогрессии.

Решим эту систему уравнений (1) и (2) для определения значений $a$ и $r$.

Сначала получим выражение для $a$ из уравнения (1):

$$a=\frac{6(1-r)}{1-r^3}(3)$$

Теперь подставим выражение для $a$ в уравнение (2):

$$\frac{{\left(\frac{6(1-r)}{1-r^3}\right)}^2(r^6-1)}{(r^2-1)}=18$$

Упростим это уравнение:

$$\frac{36(1-r{)}^2(r^6-1)}{(1-r^3)(r^2-1)}=18$$

Домножим обе стороны уравнения на $(1-r^3)(r^2-1)$ для избавления от дроби:

$$36(1-r{)}^2(r^6-1)=18(1-r^3)(r^2-1)$$

Распространим скобки и упростим уравнение:

$$36(r^8-2r^7+3r^6-2r^5+r^4-2r^3+3r^2-2r+1)=18(r^2-1-r^5+r^3)$$

$$36r^8-72r^7+108r^6-72r^5+36r^4-72r^3+108r^2-72r+36=18r^2-18-18r^5+18r^3$$

Перенесем все члены в левую часть уравнения и объединим подобные члены:

$$36r^8-72r^7+108r^6-54r^5+18r^4-90r^3+90r^2-54r+18=0$$

Теперь мы получили математическое уравнение восьмой степени, которое можно решить численно или аналитически. Я рекомендую использовать численные методы для получения приближенного значения решения.

Примечание: Решение этого уравнения выходит за рамки наших возможностей в рамках этой игры. Однако, даже без точного значения решения уравнения, мы можем использовать уравнение (3) для нахождения значения $a$ и $r$.

Таким образом, для определения третьего члена геометрической прогрессии, мы должны вычислить $a{r}^2$ на основе найденных $a$ и $r$. Решение этого уравнения требует дальнейших исследований.