Каков тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, которая проходит через середины ребер AD и A1D1 в кубе

Для решения этой задачи, нам необходимо выяснить связь между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD и A1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1. Для начала, давайте определим, что такое тангенс угла между двумя плоскостями.

Тангенс угла между двумя плоскостями можно определить как отношение длины проекции одной плоскости на другую к длине самой плоскости. Зная это определение, мы можем перейти к решению задачи.

Пусть плоскость ADA1 задана уравнением \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\), а плоскость, проходящая через середины ребер AD и A1D1, задана уравнением \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\), где A, B, C - коэффициенты плоскости, \(D_1\) и \(D_2\) - свободные члены.

Так как эти плоскости пересекаются только по прямой AD, можно независимо выбрать точку P на плоскости ADA1 и точку Q на плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1. Мы можем использовать середины ребер AD и A1D1 в качестве таких точек P и Q соответственно.

Найдем координаты точек P и Q. Положим координаты вершины A равными (0, 0, 0), а сторона куба ABCDA1B1C1D1 равной L.

Середина ребра AD имеет координаты \((\frac{L}{2}, 0, \frac{L}{2})\).

Середина ребра A1D1 имеет координаты \((0, \frac{L}{2}, \frac{L}{2})\).

Запишем уравнение плоскости ADA1, используя координаты точки P:

\(A\cdot(\frac{L}{2}) + B\cdot0 + C\cdot(\frac{L}{2}) + D_1 = 0\)

\(\frac{AL}{2} + \frac{CL}{2} + D_1 = 0\)

\(\frac{L}{2}(A + C) + D_1 = 0\)

Аналогично, запишем уравнение плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, используя координаты точки Q:

\(A\cdot0 + B\cdot(\frac{L}{2}) + C\cdot(\frac{L}{2}) + D_2 = 0\)

\(\frac{BL}{2} + \frac{CL}{2} + D_2 = 0\)

\(\frac{L}{2}(B + C) + D_2 = 0\)

Мы получили уравнения плоскостей через координаты точек P и Q. Теперь необходимо найти их проекции друг на друга и рассчитать тангенс угла.

Проекция плоскости ADA1 на плоскость, проходящую через середины ребер AD и A1D1, равна длине вектора, перпендикулярного плоскости ADA1 и проходящего через точку Q. Аналогично, проекция плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, на плоскость ADA1, равна длине вектора, перпендикулярного плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, и проходящего через точку P.

Найдем коэффициенты перпендикулярного вектора плоскости ADA1, проходящего через точку Q. Для этого возьмем нормальный вектор плоскости ADA1:

\(\vec{n}_1 = (A, B, C)\)

Теперь найдем коэффициенты перпендикулярного вектора плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, и проходящего через точку P. Для этого возьмем нормальный вектор этой плоскости:

\(\vec{n}_2 = (0, B, C)\)

Найдем проекции этих векторов друг на друга:

\(\text{Проекция } \vec{n}_1 \text{ на } \vec{n}_2 = \frac{\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2}{|\vec{n}_2|}\)

Так как \(\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = A \cdot 0 + B \cdot B + C \cdot C = B^2 + C^2\) и \(|\vec{n}_2| = \sqrt{0^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{B^2 + C^2}\), получим:

\(\text{Проекция } \vec{n}_1 \text{ на } \vec{n}_2 = \frac{B^2 + C^2}{\sqrt{B^2 + C^2}} = \sqrt{B^2 + C^2}\)

Теперь найдем проекцию плоскости ADA1 на плоскость, проходящую через середины ребер AD и A1D1:

\(\tan \text{ угла} = \frac{\text{Проекция плоскости ADA1 на плоскость, проходящую через середины ребер AD и A1D1}}{\text{Проекция плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, на плоскость ADA1}} = \frac{\sqrt{B^2 + C^2}}{\sqrt{B^2 + C^2}} = 1\)

Таким образом, тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD и A1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1, равен 1.