Каков тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, которая проходит через середины ребер AD и A1D1 в кубе

Каков тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, которая проходит через середины ребер AD и A1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1?
Liska

Liska

Для решения этой задачи, нам необходимо выяснить связь между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD и A1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1. Для начала, давайте определим, что такое тангенс угла между двумя плоскостями.

Тангенс угла между двумя плоскостями можно определить как отношение длины проекции одной плоскости на другую к длине самой плоскости. Зная это определение, мы можем перейти к решению задачи.

Пусть плоскость ADA1 задана уравнением Ax+By+Cz+D1=0, а плоскость, проходящая через середины ребер AD и A1D1, задана уравнением Ax+By+Cz+D2=0, где A, B, C - коэффициенты плоскости, D1 и D2 - свободные члены.

Так как эти плоскости пересекаются только по прямой AD, можно независимо выбрать точку P на плоскости ADA1 и точку Q на плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1. Мы можем использовать середины ребер AD и A1D1 в качестве таких точек P и Q соответственно.

Найдем координаты точек P и Q. Положим координаты вершины A равными (0, 0, 0), а сторона куба ABCDA1B1C1D1 равной L.

Середина ребра AD имеет координаты (L2,0,L2).

Середина ребра A1D1 имеет координаты (0,L2,L2).

Запишем уравнение плоскости ADA1, используя координаты точки P:

A(L2)+B0+C(L2)+D1=0

AL2+CL2+D1=0

L2(A+C)+D1=0

Аналогично, запишем уравнение плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, используя координаты точки Q:

A0+B(L2)+C(L2)+D2=0

BL2+CL2+D2=0

L2(B+C)+D2=0

Мы получили уравнения плоскостей через координаты точек P и Q. Теперь необходимо найти их проекции друг на друга и рассчитать тангенс угла.

Проекция плоскости ADA1 на плоскость, проходящую через середины ребер AD и A1D1, равна длине вектора, перпендикулярного плоскости ADA1 и проходящего через точку Q. Аналогично, проекция плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, на плоскость ADA1, равна длине вектора, перпендикулярного плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, и проходящего через точку P.

Найдем коэффициенты перпендикулярного вектора плоскости ADA1, проходящего через точку Q. Для этого возьмем нормальный вектор плоскости ADA1:

n1=(A,B,C)

Теперь найдем коэффициенты перпендикулярного вектора плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, и проходящего через точку P. Для этого возьмем нормальный вектор этой плоскости:

n2=(0,B,C)

Найдем проекции этих векторов друг на друга:

Проекция n1 на n2=n1n2|n2|

Так как n1n2=A0+BB+CC=B2+C2 и |n2|=02+B2+C2=B2+C2, получим:

Проекция n1 на n2=B2+C2B2+C2=B2+C2

Теперь найдем проекцию плоскости ADA1 на плоскость, проходящую через середины ребер AD и A1D1:

tan угла=Проекция плоскости ADA1 на плоскость, проходящую через середины ребер AD и A1D1Проекция плоскости, проходящей через середины ребер AD и A1D1, на плоскость ADA1=B2+C2B2+C2=1

Таким образом, тангенс угла между плоскостью ADA1 и плоскостью, проходящей через середины ребер AD и A1D1 в кубе ABCDA1B1C1D1, равен 1.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello