Каков способ решения задачи о нахождении точки максимума для функции y=(4-x) e^(x+4)? Я запутался в различных примерах

Конечно, я помогу вам разобраться с нахождением точки максимума для функции \(y=(4-x)e^{(x+4)}\). Для начала, давайте найдем производную этой функции.

Для вычисления производной нам потребуется использовать правило производной произведения функций (правило Лейбница), которое гласит:

\((f(x)g(x))" = f"(x)g(x) + f(x)g"(x)\)

Применим это правило к нашей функции:

\[y" = \left((4-x)e^{(x+4)}\right)" = (4-x)"e^{(x+4)} + (4-x)e^{(x+4)}"\]

Вычислим производные от \((4-x)\) и \(e^{(x+4)}\):

\((4-x)" = -1\), так как производная константы равна нулю.

И производная от \(e^{(x+4)}\) равна \(e^{(x+4)}\), так как производная экспоненты равна самой экспоненте.

Подставим значения производных обратно в наше уравнение:

\[y" = -1 \cdot e^{(x+4)} + (4-x) \cdot e^{(x+4)}\]

Теперь упростим это выражение:

\[y" = -e^{(x+4)} + (4-x)e^{(x+4)}\]

\(\)

Теперь найденную производную приравняем к нулю. После этого решим полученное уравнение относительно \(x\):

\[-e^{(x+4)} + (4-x)e^{(x+4)} = 0\]

Перегруппируем слагаемые:

\[(4-x)e^{(x+4)} = e^{(x+4)}\]

Теперь делим обе части равенства на \(e^{(x+4)}\):

\[4-x = 1\]

Переносим переменную x влево:

\[x = 4 - 1\]

Решив уравнение, получаем значение \(x = 3\).

\(\)

Теперь, чтобы найти значение \(y\), подставим найденное значение \(x\) в исходную функцию:

\[y = (4-3)e^{(3+4)} = e^7 \approx 1096.63\]

Таким образом, точка максимума для функции \(y=(4-x)e^{(x+4)}\) находится в координатах (3, 1096.63).