Каков синус угла между прямыми CD и A1C1 в прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1 с заданными значениями длин ребер

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства параллелепипеда и формулы тригонометрии.

Сначала нам нужно найти длину грани CD. Поскольку AB и CD - это ребра параллелепипеда, их длины равны. Таким образом,
AB = CD = 16.

Затем нам нужно найти длину диагонали AC1. Для этого мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABC1:
AC1 = √(AB² + BC1² + A1C1²).

Однако нам известно, что AB = 16, BC1 = AA1 = 12 (поскольку AD = AA1 = 12), поэтому мы можем переписать эту формулу:
AC1 = √(16² + 12² + A1C1²).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник CDА1. Угол между прямыми CD и A1C1 - это угол между гранью CD и диагональю AC1, которая соединяет две диагонально противоположные точки параллелепипеда.

Используя теорему косинусов для треугольника CDА1, мы можем записать:
cos(угол CDА1) = (CD² + A1C1² - AC1²) / (2 * CD * A1C1).

Теперь нам нужно найти синус этого угла. Мы можем использовать связь между синусом и косинусом угла:
sin(угол CDА1) = √(1 - cos²(угол CDА1)).

Таким образом, синус угла между прямыми CD и A1C1 в параллелепипеде равен:
sin(угол CDА1) = √(1 - ( (CD² + A1C1² - AC1²) / (2 * CD * A1C1) )² ).

Нам осталось только подставить значения и вычислить синус этого угла. Подставляя значения CD = 16, A1C1 = AA1 = 12 и AC1 = √(16² + 12² + A1C1²), мы можем решить задачу полностью. Однако, формулы могут стать слишком сложными для школьников, поэтому я могу решить задачу численно и предоставить ответ.

Решение численным методом:
Сначала найдем длину диагонали AC1:
AC1 = √(16² + 12² + 12²) ≈ √(256 + 144 + 144) ≈ √544 ≈ 23.32.

Теперь мы можем рассчитать синус угла между прямыми CD и A1C1:
sin(угол CDА1) = √(1 - ( (16² + 12² - 23.32²) / (2 * 16 * 12) )² ).

Вычисляем числитель:
16² + 12² - 23.32² ≈ 256 + 144 - 544 ≈ -144.

Вычисляем знаменатель:
2 * 16 * 12 = 384.

Подставляем значения в формулу синуса:
sin(угол CDА1) = √(1 - (-144/384)²).

Вычисляем значения в скобках:
(-144/384)² ≈ (-0.375)² ≈ 0.140625.

Вычитаем значение в скобках из 1:
1 - 0.140625 ≈ 0.859375.

И, наконец, вычисляем квадратный корень:
sin(угол CDА1) ≈ √0.859375 ≈ 0.926.

Итак, синус угла между прямыми CD и A1C1 в параллелепипеде ABCDA1B1C1 равен примерно 0.926.