Каков синус меньшего острого угла треугольника АВС, если в прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, высота СН равна 12, медиана СМ равна 15?
Zolotaya_Pyl
Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о прямоугольных треугольниках и их свойствах.
В данном случае, треугольник АВС является прямоугольным, с углом C, равным 90 градусов. Таким образом, сторона СН является высотой, а сторона СМ является медианой, проходящей через вершину С и середину стороны АВ.
Для решения задачи, сначала найдем длину стороны АС с помощью теоремы Пифагора:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Зная длину стороны АС, мы можем найти синус меньшего острого угла треугольника АВС, используя следующее соотношение:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{\text{Противоположная сторона}}}{{\text{Гипотенуза}}} = \frac{{CH}}{{AC}} \]
Теперь решим задачу пошагово:
Шаг 1: Найдем длину стороны АС с помощью теоремы Пифагора:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Шаг 2: Рассчитаем значение синуса меньшего острого угла треугольника АВС:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{CH}}{{AC}} \]
Теперь, проделаем каждый шаг по очереди.
Шаг 1: Найдем длину стороны АС с помощью теоремы Пифагора.
Известно, что высота СН равна 12 и медиана СМ равна \( \frac{1}{2} \) от стороны АВ.
Так как СМ является медианой, то СМ = \( \frac{1}{2} \) АВ.
Следовательно, АВ = 2 СМ.
Для решения задачи, нам нужно найти длину стороны АС. Для этого, возьмем во внимание теорему Пифагора:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Рассчитаем длину стороны АВ:
\[ AB = 2 \cdot СМ = 2 \cdot СН \]
\[ AB = 2 \cdot 12 = 24 \]
Теперь, нам нужно найти длину стороны ВС.
Из условия задачи известно, что угол C равен 90 градусов. Так как треугольник АВС прямоугольный, у нас есть право использовать теорему Пифагора:
\[ BC^2 = AC^2 - AB^2 \]
Заменим известные значения:
\[ BC^2 = (24)^2 - (12)^2 \]
\[ BC^2 = 576 - 144 \]
\[ BC^2 = 432 \]
\[ BC = \sqrt{432} \]
Теперь, рассчитаем длину стороны АС:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
\[ AC = \sqrt{(24)^2 + (BC)^2} \]
\[ AC = \sqrt{(24)^2 + (\sqrt{432})^2} \]
\[ AC = \sqrt{576 + 432} \]
\[ AC = \sqrt{1008} \]
\[ AC = \sqrt{36 \cdot 28} \]
\[ AC = 6 \cdot \sqrt{28} \]
Шаг 2: Рассчитаем значение синуса меньшего острого угла треугольника АВС.
Используем соотношение:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{CH}}{{AC}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{12}}{{6 \cdot \sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{\cancelto{2}{12}}}{{\cancel{6} \cdot \sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{\sqrt{28}}} \]
Упростим выражение:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2 \cdot \sqrt{28}}}{{\sqrt{28} \cdot \sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2 \cdot \sqrt{28}}}{{28}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \cdot \frac{{\sqrt{28}}}{{\sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \cdot \sqrt{\frac{{28}}{{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \cdot 1 \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \]
Таким образом, синус меньшего острого угла треугольника АВС равен \( \frac{{2}}{{7}} \).
В данном случае, треугольник АВС является прямоугольным, с углом C, равным 90 градусов. Таким образом, сторона СН является высотой, а сторона СМ является медианой, проходящей через вершину С и середину стороны АВ.
Для решения задачи, сначала найдем длину стороны АС с помощью теоремы Пифагора:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Зная длину стороны АС, мы можем найти синус меньшего острого угла треугольника АВС, используя следующее соотношение:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{\text{Противоположная сторона}}}{{\text{Гипотенуза}}} = \frac{{CH}}{{AC}} \]
Теперь решим задачу пошагово:
Шаг 1: Найдем длину стороны АС с помощью теоремы Пифагора:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Шаг 2: Рассчитаем значение синуса меньшего острого угла треугольника АВС:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{CH}}{{AC}} \]
Теперь, проделаем каждый шаг по очереди.
Шаг 1: Найдем длину стороны АС с помощью теоремы Пифагора.
Известно, что высота СН равна 12 и медиана СМ равна \( \frac{1}{2} \) от стороны АВ.
Так как СМ является медианой, то СМ = \( \frac{1}{2} \) АВ.
Следовательно, АВ = 2 СМ.
Для решения задачи, нам нужно найти длину стороны АС. Для этого, возьмем во внимание теорему Пифагора:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
Рассчитаем длину стороны АВ:
\[ AB = 2 \cdot СМ = 2 \cdot СН \]
\[ AB = 2 \cdot 12 = 24 \]
Теперь, нам нужно найти длину стороны ВС.
Из условия задачи известно, что угол C равен 90 градусов. Так как треугольник АВС прямоугольный, у нас есть право использовать теорему Пифагора:
\[ BC^2 = AC^2 - AB^2 \]
Заменим известные значения:
\[ BC^2 = (24)^2 - (12)^2 \]
\[ BC^2 = 576 - 144 \]
\[ BC^2 = 432 \]
\[ BC = \sqrt{432} \]
Теперь, рассчитаем длину стороны АС:
\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]
\[ AC = \sqrt{(24)^2 + (BC)^2} \]
\[ AC = \sqrt{(24)^2 + (\sqrt{432})^2} \]
\[ AC = \sqrt{576 + 432} \]
\[ AC = \sqrt{1008} \]
\[ AC = \sqrt{36 \cdot 28} \]
\[ AC = 6 \cdot \sqrt{28} \]
Шаг 2: Рассчитаем значение синуса меньшего острого угла треугольника АВС.
Используем соотношение:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{CH}}{{AC}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{12}}{{6 \cdot \sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{\cancelto{2}{12}}}{{\cancel{6} \cdot \sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{\sqrt{28}}} \]
Упростим выражение:
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2 \cdot \sqrt{28}}}{{\sqrt{28} \cdot \sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2 \cdot \sqrt{28}}}{{28}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \cdot \frac{{\sqrt{28}}}{{\sqrt{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \cdot \sqrt{\frac{{28}}{{28}}} \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \cdot 1 \]
\[ \sin{\angle{A}} = \frac{{2}}{{7}} \]
Таким образом, синус меньшего острого угла треугольника АВС равен \( \frac{{2}}{{7}} \).
Знаешь ответ?
О проекте
Мы такая же школота как ты ;)
Предметы
Русский язык- Математика
- Геометрия
- Музыка
- История
- Экономика
- Литература
- Алгебра
- Другие предметы
- Физика
- Информатика
- Обществознание
- География
- Немецкий язык
- Химия
- Английский язык
- Психология
- Українська мова
- Окружающий мир
- Биология
- Беларуская мова
- Қазақ тiлi
- Право
- ОБЖ
- Українська література
- МХК
- Французский язык
