Каков результат вычисления основного неопределенного интеграла для функции

Question

Математика: Каков результат вычисления основного неопределенного интеграла для функции ∫dxx2+a2? Выберите один вариант ответа: 12aln|x-ax+a|+C(a≠0) 1arctg(x/a)+C arcsin(x/a)+C

Rak_3310 · Accepted Answer

Итак, мы должны вычислить основной неопределенный интеграл для функции \(\int \frac{dx}{x^2 + a^2}\), где \(a\) - константа.

Для того, чтобы найти решение, воспользуемся методом замены переменной. Для начала проведем замену переменной:

\(u = \frac{x}{a}\)

Теперь найдем производную новой переменной \(u\):

\(du = \frac{dx}{a}\)
\(dx = a\ du\)

Теперь мы можем переписать наш исходный интеграл с использованием новой переменной:

\(\int \frac{a\ du}{{(au)^2 + a^2}}\)

Упростим это выражение:

\(\int \frac{a\ du}{a^2(u^2 + 1)}\)

Вынесем константу \(a\) за знак интеграла:

\(a \int \frac{du}{a^2(u^2 + 1)}\)

Теперь мы видим, что это интеграл от \(\frac{1}{u^2 + 1}\), которая имеет известный результат:

\(\int \frac{du}{u^2 + 1} = \arctan(u) + C_1\)

Подставим обратную замену переменных:

\(\arctan(u) + C_1 = \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C_1\)

И, наконец, подставим константу обратной замены переменных \(C_2 = C_1 - \frac{\pi}{2}\):

\(\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C_1 = \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C_2 + \frac{\pi}{2}\)

Таким образом, мы получаем, что результат вычисления основного неопределенного интеграла для функции \(\int \frac{dx}{x^2 + a^2}\) равен \(\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C + \frac{\pi}{2}\), где \(C\) - произвольная постоянная.

Каков результат вычисления основного неопределенного интеграла для функции ∫dxx2+a2? Выберите один вариант ответа

Rak_3310

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!