Какие будут первые шесть членов последовательности (hn), если h1=3 и hn+1=1/3hn+6?

Хорошо, давайте решим эту математическую задачу.

Дано, что \(h_1 = 3\) и \(h_{n+1} = \frac{1}{3}h_n + 6\). Мы должны найти первые шесть членов этой последовательности.

Для решения этой задачи, нам нужно использовать рекурсивное определение последовательности. Давайте пошагово вычислим значения членов последовательности, начиная с \(h_1\):

1. Член \(h_1\) уже известен и равен 3.
2. Теперь мы можем использовать предоставленное условие \(h_{n+1} = \frac{1}{3}h_n + 6\) для определения остальных членов последовательности.

Вычислим значение \(h_2\):
\[h_2 = \frac{1}{3}h_1 + 6 = \frac{1}{3} \cdot 3 + 6 = 1 + 6 = 7\]

Вычислим значение \(h_3\):
\[h_3 = \frac{1}{3}h_2 + 6 = \frac{1}{3} \cdot 7 + 6 = \frac{7}{3} + 6 = \frac{7+18}{3} = \frac{25}{3}\]

Вычислим значение \(h_4\):
\[h_4 = \frac{1}{3}h_3 + 6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{25}{3} + 6 = \frac{25}{9} + 6 = \frac{25+54}{9} = \frac{79}{9}\]

Вычислим значение \(h_5\):
\[h_5 = \frac{1}{3}h_4 + 6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{79}{9} + 6 = \frac{79}{27} + 6 = \frac{79+162}{27} = \frac{241}{27}\]

Вычислим значение \(h_6\):
\[h_6 = \frac{1}{3}h_5 + 6 = \frac{1}{3} \cdot \frac{241}{27} + 6 = \frac{241}{81} + 6 = \frac{241+486}{81} = \frac{727}{81}\]

Таким образом, первые шесть членов последовательности (hn) будут:
\(h_1 = 3\), \(h_2 = 7\), \(h_3 = \frac{25}{3}\), \(h_4 = \frac{79}{9}\), \(h_5 = \frac{241}{27}\), \(h_6 = \frac{727}{81}\).