Каков результат возведения в 4-ую степень бинома (3/4a + 1/3b)?

Конечно, я могу помочь с этой задачей. Чтобы найти результат возведения в 4-ую степень бинома \((\frac{3}{4}a + \frac{1}{3}b)\), мы можем использовать формулу бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона гласит:

\[(a + b)^4 = \binom{4}{0}a^4b^0 + \binom{4}{1}a^3b^1 + \binom{4}{2}a^2b^2 + \binom{4}{3}a^1b^3 + \binom{4}{4}a^0b^4\]

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, равный:

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]

Подставим значения \(a = \frac{3}{4}a\) и \(b = \frac{1}{3}b\) в формулу:

\[(\frac{3}{4}a + \frac{1}{3}b)^4 = \binom{4}{0}(\frac{3}{4}a)^4(\frac{1}{3}b)^0 + \binom{4}{1}(\frac{3}{4}a)^3(\frac{1}{3}b)^1 + \binom{4}{2}(\frac{3}{4}a)^2(\frac{1}{3}b)^2 + \binom{4}{3}(\frac{3}{4}a)^1(\frac{1}{3}b)^3 + \binom{4}{4}(\frac{3}{4}a)^0(\frac{1}{3}b)^4\]

Вычислим биномиальные коэффициенты:

\(\binom{4}{0} = 1\)

\(\binom{4}{1} = 4\)

\(\binom{4}{2} = 6\)

\(\binom{4}{3} = 4\)

\(\binom{4}{4} = 1\)

Теперь заменим значения:

\[(\frac{3}{4}a + \frac{1}{3}b)^4 = 1(\frac{3}{4}a)^4(\frac{1}{3}b)^0 + 4(\frac{3}{4}a)^3(\frac{1}{3}b)^1 + 6(\frac{3}{4}a)^2(\frac{1}{3}b)^2 + 4(\frac{3}{4}a)^1(\frac{1}{3}b)^3 + 1(\frac{3}{4}a)^0(\frac{1}{3}b)^4\]

Теперь просто упростим каждое слагаемое:

\(\frac{3^4}{4^4}a^4 + \frac{4 \cdot 3^3}{4^4}a^3b + \frac{6 \cdot 3^2}{4^4}a^2b^2 + \frac{4 \cdot 3}{4^4}ab^3 + \frac{1}{4^4}b^4\)

Далее упростим числовые значения:

\(\frac{81}{256}a^4 + \frac{108}{256}a^3b + \frac{54}{256}a^2b^2 + \frac{12}{256}ab^3 + \frac{1}{256}b^4\)

Таким образом, результат возведения в 4-ую степень бинома \((\frac{3}{4}a + \frac{1}{3}b)\) равен:

\[\frac{81}{256}a^4 + \frac{108}{256}a^3b + \frac{54}{256}a^2b^2 + \frac{12}{256}ab^3 + \frac{1}{256}b^4\]