Каков результат умножения sin(60+a)sin(60-a), при условии, что cos2a равен?

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Нам дано, что \(\cos 2a = x\). Для начала, вспомним формулу двойного угла для косинуса:
\[\cos 2a = 2 \cos^2 a - 1.\]

Заменим \(\cos 2a\) на \(x\) и решим уравнение:
\[x = 2 \cos^2 a - 1.\]

Теперь перенесем все члены уравнения на одну сторону и приведем его к квадратному виду:
\[2 \cos^2 a - x - 1 = 0.\]

У нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos a\). Решим его с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле:
\[D = b^2 - 4ac.\]

В нашем случае, \(a = 2\), \(b = 0\) и \(c = -x - 1\), поэтому:
\[D = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-x - 1) = 8x + 8.\]

Теперь вычислим корни квадратного уравнения с помощью формулы корней:
\[\cos a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения и упростим выражение:
\[\cos a = \frac{\pm \sqrt{8x + 8}}{4} = \frac{\pm \sqrt{2(x+1)}}{2}.\]

Теперь, когда у нас есть значение \(\cos a\), мы можем найти значение \(\sin a\), используя тригонометрическую тождество:
\[\sin^2 a = 1 - \cos^2 a.\]

Возьмем положительное значение \(\cos a\), чтобы получить положительное значение \(\sin a\), поскольку \(a\) находится в первой или во второй четверти (как видно из знака \(\cos a\)). Таким образом, получим:
\[\sin a = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{2(x+1)}}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{2(x+1)}{4}} = \sqrt{1 - \frac{x+1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{x}{2}}.\]

Теперь остается умножить \(\sin(60+a)\) на \(\sin(60-a)\). Заметим, что сумма углов \(60 + a\) и \(60 - a\) равна \(120^\circ\), и тригонометрическая формула для произведения синусов двух углов гласит:
\[\sin(\alpha)\sin(\beta) = \frac{1}{2} \cos(\alpha - \beta) - \frac{1}{2} \cos(\alpha + \beta).\]

Подставим значения в формулу:
\[\sin(60+a)\sin(60-a) = \frac{1}{2} \cos(120) - \frac{1}{2} \cos(2a).\]

Значение \(\cos 120^\circ\) можно найти, используя значения тригонометрических функций для особых углов. В данном случае, \(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\).

Также у нас есть значение \(\cos 2a\), это \(x\).

Подставим значения и получим ответ:
\[\sin(60+a)\sin(60-a) = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{2} \cdot x = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x.\]

Итак, результат умножения \(\sin(60+a)\sin(60-a)\), при условии что \(\cos 2a = x\), равен \(-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}x\).

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!