Каков результат умножения cosπ5 на cos5π9? Чему равно произведение cos87 градусов на cos12 градусов?

Нам даны две задачи, давайте решим их по очереди:

1. Каков результат умножения cosπ/5 на cos(5π/9)?

Для решения этой задачи воспользуемся аналитическими тригонометрическими соотношениями.

Сначала рассмотрим выражение cos(π/5). Применим формулу идентичности для cos(2θ), где θ = π/5:

cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1

Подставим значение θ = π/5:

cos(2π/5) = 2cos²(π/5) - 1

Теперь выразим cos²(π/5):

cos²(π/5) = (cos(2π/5) + 1) / 2

Итак, мы получили значение cos²(π/5), которое мы будем использовать в нашем ответе. Теперь давайте рассмотрим выражение cos(5π/9):

cos(5π/9) = cos(2π/9 + 3π/9)

Здесь мы использовали формулу суммы аргументов для cos, а также то, что cos(2π/9) = cos(3π/9) = cos(π/3) = 1/2.

cos(5π/9) = cos(2π/9)cos(3π/9) - sin(2π/9)sin(3π/9)

Теперь заменим cos(2π/9) и cos(3π/9) на их аналитические выражения:

cos(5π/9) = (1/2)(1/2) - sin(2π/9)sin(3π/9)

cos(5π/9) = 1/4 - sin(2π/9)sin(π/3)

sin(π/3) = √3/2, поэтому:

cos(5π/9) = 1/4 - (sin(2π/9) * √3/2)

Теперь нам нужно рассчитать значение sin(2π/9). Мы можем воспользоваться формулой половинного угла для sin:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

cos(2π/9) = cos(π/9 + π/9)

Снова используем формулу суммы аргументов:

cos(2π/9) = cos²(π/9) - sin²(π/9)

Выразим cos²(π/9):

cos²(π/9) = (cos(2π/9) + 1) / 2

тогда sin(2π/9) = 2√(cos²(π/9) - 1/2)cos(π/9)

Заменим cos(2π/9) на его выражение:

sin(2π/9) = 2√(((cos(2π/9) + 1) / 2) - 1/2)cos(π/9)

Теперь, когда у нас есть значение sin(2π/9), мы можем рассчитать искомое произведение:

cos(5π/9) = 1/4 - (sin(2π/9) * √3/2)

Правильным ответом на задачу является значение, полученное после выполнения всех рассуждений и подсчетов.

2. Чему равно произведение cos(87°) на cos(12°)?

Для решения этой задачи мы можем использовать аналогичный подход, как и в предыдущей задаче.

cos(87°) можно представить как cos(75° + 12°):

cos(87°) = cos(75°)cos(12°) - sin(75°)sin(12°)

Здесь мы использовали формулу суммы аргументов для cos и sin.

cos(75°) и sin(75°) можно рассчитать с использованием тригонометрических значений угла 75°:

cos(75°) = cos(45° + 30°) = cos(45°)cos(30°) - sin(45°)sin(30°)

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°)

Используя известные значения:

cos(45°) = √2/2
cos(30°) = √3/2
sin(45°) = √2/2
sin(30°) = 1/2

Мы можем выразить cos(75°) и sin(75°):

cos(75°) = (√2/2)(√3/2) - (√2/2)(1/2) = (√6 - √2)/4

sin(75°) = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4

Теперь, используя значения cos(75°), sin(75°), cos(12°) и sin(12°), мы можем вычислить произведение:

cos(87°) = cos(75°)cos(12°) - sin(75°)sin(12°)

cos(87°) = ((√6 - √2)/4)(cos(12°)) - ((√6 + √2)/4)(sin(12°))

Подставьте значение sin(12°) и cos(12°) в последнее уравнение и произведите вычисления, чтобы получить окончательный ответ на задачу.