Каков результат следующего выражения: тангенс 45° умноженное на синус 120° и деленное на котангенс 150°?

Хорошо, давайте начнем! Чтобы решить эту задачу, мы должны вычислить значение следующего выражения: \(\frac{{\tan 45^\circ \cdot \sin 120^\circ}}{{\cot 150^\circ}}\).

Для начала, давайте вычислим значения функций тригонометрии для данных углов.

Угол 45° является известным углом, так как это половина угла прямого треугольника. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике со сторонами \(1\), \(1\) и \(\sqrt{2}\) тангенс угла 45° равен единице.

Угол 120° является известным углом, потому что это угол в равностороннем треугольнике. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°, и синус угла 60° равен \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Угол 150° также является известным углом влево от 180° и мы можем выразить его как разницу между 180° и 30°. Котангенс угла 30° равен \(\sqrt{3}\), поэтому котангенс угла 150° будет равен \(-\sqrt{3}\).

Теперь мы готовы вычислить выражение!

\(\frac{{\tan 45^\circ \cdot \sin 120^\circ}}{{\cot 150^\circ}} = \frac{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{-\sqrt{3}}\)

Для удобства, давайте упростим это выражение. Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от корня в знаменателе.

\(\frac{{1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3}}}{{-\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}} = \frac{{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 1}}{{-3}}\)

Умножим корни в числителе и знаменателе.

\(\frac{3 \cdot 1}{{-3}} = \frac{-3}{3} = -1\)

Таким образом, результат выражения \(\frac{{\tan 45^\circ \cdot \sin 120^\circ}}{{\cot 150^\circ}}\) равен \(-1\).

Если у вас остались вопросы или нужны какие-либо дополнительные объяснения, пожалуйста, дайте знать!