Каков результат двойного интеграла int int x^{2}y ,dx ,dy по прямоугольнику3 le x le 6 0 le y le 2? Выберите один

Хорошо! Давайте решим эту задачу.

Для начала, давайте выразим двойной интеграл в виде последовательности двух одинарных интегралов, чтобы выделить каждую переменную по отдельности:

\[\int \left( \int x^{2}y\,dx \right) \,dy.\]

Теперь рассмотрим первый интеграл:

\[\int x^{2}y\,dx.\]

Чтобы проинтегрировать это выражение, мы будем считать y постоянной, так как для нас сейчас важно проинтегрировать по x. Интегрируем по x:

\[\frac{1}{3}x^{3}y.\]

Теперь, чтобы рассчитать значение этого интеграла в пределах от 3 до 6, мы подставляем эти значения в интеграл:

\[\left[ \frac{1}{3}x^{3}y \right]_{3}^{6}.\]

Получаем:

\[\frac{1}{3}(6^{3}y - 3^{3}y).\]

Упрощаем это выражение:

\[\frac{1}{3}(216y - 27y).\]

Итак, первый интеграл производит следующий результат:

\[\frac{1}{3}(189y).\]

Теперь, перейдем второму интегралу по y:

\[\int \left( \frac{1}{3}(189y) \right) \,dy.\]

Интегрирование по y простое:

\[\frac{1}{3} \cdot \frac{189}{2}y^{2}.\]

Подставим значения пределов интегрирования от 0 до 2:

\[\left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{189}{2}y^{2} \right]_{0}^{2}.\]

Теперь, рассчитаем это выражение:

\[\frac{1}{3} \cdot \frac{189}{2}(2^{2} - 0^{2}).\]

Упростим это:

\[\frac{1}{3} \cdot \frac{189}{2}(4).\]

Конечно, это дает нам:

\[126.\]

Таким образом, ответ на задачу равен 126, и поэтому правильный вариант ответа – b).