Каков радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, если точка касания делит гипотенузу на два отрезка

Чтобы найти радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике, нам понадобятся некоторые свойства треугольника и формулы. Давайте начнем по шагам:

Шаг 1: Используем свойство треугольника

Прямоугольный треугольник имеет особое свойство, что точка касания вписанной окружности с гипотенузой разделит гипотенузу на два отрезка, каждый из которых является средним пропорциональным между гипотенузой и катетом, который лежит напротив острого угла.

По условию задачи, мы знаем, что точка касания разделяет гипотенузу на два отрезка длиной 4см и 21см.

Пусть \(x\) - длина первого отрезка, а \(y\) - длина второго отрезка. Тогда, по свойству треугольника, мы можем записать следующее:

\(\frac{{x}}{{y}} = \frac{{y}}{{\text{{гипотенуза}}}}\)

Используя подставленные значения и обозначая гипотенузу как \(c\), мы получим:

\(\frac{{4}}{{21}} = \frac{{21}}{{c}}\)

Шаг 2: Решение уравнения

Чтобы найти значение \(c\), нужно решить уравнение, представленное в предыдущем шаге.

Для этого умножим обе части уравнения на \(21c\):

\(4c = 21^2\)

Теперь разделим обе части на 4, чтобы найти значение \(c\):

\(c = \frac{{21^2}}{{4}}\)

Шаг 3: Вычисление радиуса окружности

Радиус вписанной окружности может быть найден как половина гипотенузы треугольника. То есть:

\(r = \frac{{c}}{{2}}\)

Подставим значение \(c\), которое мы получили на предыдущем шаге:

\(r = \frac{{\frac{{21^2}}{{4}}}}{{2}}\)

Для упрощения вычислений, давайте запишем значение радиуса в виде десятичной дроби:

\(r = \frac{{21^2}}{{8}} \approx 55,13\)

Итак, радиус вписанной окружности в прямоугольном треугольнике примерно равен 55,13 см.

Надеюсь, этот объяснение было полезным и понятным для вас! Если у вас возникли еще вопросы, не стесняйтесь задавать.