Каков радиус шара, вписанного в данную правильную восьмиугольную пирамиду, если известно, что апофема равна

Чтобы найти радиус шара, вписанного в данную правильную восьмиугольную пирамиду, будем использовать некоторые свойства геометрических фигур.

Шар, вписанный в пирамиду, касается всех боковых граней пирамиды, а также основания пирамиды. Таким образом, мы можем провести радиусы шара, вписанного в пирамиду, к серединам каждой стороны основания. Таким образом, получим регулярную восьмиугольную звезду, в которой вершины являются серединами сторон основания пирамиды.

Поскольку апофема равна 10, то апофема восьмиугольника (расстояние от центра восьмиугольника до вершины) также равно 10. Обозначим апофему восьмиугольника как \(h\).

Теперь нам нужно найти длину стороны основания. Для этого рассмотрим треугольник, образованный половиной стороны основания, апофемой и радиусом шара. Это прямоугольный треугольник, поскольку радиус шара является перпендикуляром к стороне основания. Таким образом, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину стороны основания:

\[r^2 + (\frac{h}{2})^2 = R^2\]

где \(r\) - радиус шара, а \(R\) - радиус окружности, описанной вокруг восьмиугольника.

Мы также знаем, что площадь круга, вписанного в основание пирамиды, равна 36π. Площадь круга можно найти, используя формулу:

\[S = \pi r^2\]

Подставим известное значение площади и найденное значение \(r\) в эту формулу:

\[36\pi = \pi r^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(r\):

\[r^2 = 36\]

\[r = 6\]

Таким образом, радиус шара, вписанного в данную правильную восьмиугольную пирамиду, равен 6.