Каков радиус шара, который вписан в прямую призму с основанием в форме прямоугольного треугольника с острым углом

Для решения этой задачи, давайте вначале рассмотрим основные свойства вписанных фигур.

Вписанные фигуры (например, вписанные окружности) имеют некоторые интересные свойства. Одно из них говорит о том, что прямая, соединяющая центр окружности с точкой касания с внешней фигурой, перпендикулярна к стороне или плоскости внешней фигуры, с которой она касается.

В нашей задаче прямая призма является внешней фигурой, а вписанный шар является вписанной фигурой. Значит, прямая, соединяющая центр шара с точкой касания шара с призмой, будет перпендикулярна к основанию призмы.

Так как основание призмы представляет собой прямоугольный треугольник с острым углом \( a \) и гипотенузой, это означает, что прямая, соединяющая центр шара с соответствующей точкой на гипотенузе, будет также являться высотой этого треугольника.

Высота прямоугольного треугольника является перпендикуляром к основанию (гипотенузе) и проходит через её середину. Таким образом, центр шара будет располагаться в середине гипотенузы.

Теперь обратимся к радиусу шара. Рассмотрим треугольник, образованный половиной гипотенузы, радиусом шара, которая будет являться высотой треугольника, и половиной стороны основания (половину стороны основания можно рассмотреть, так как треугольник симметричен относительно высоты).

Этот треугольник будет прямоугольным, так как высота и радиус шара перпендикулярны половине гипотенузы. Мы также знаем, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше, чем катет, поэтому можно записать следующее:

\[
\frac{{\text{{половина гипотенузы}}}}{{\text{{радиус}}}} = 2
\]

Теперь мы можем выразить радиус через половину гипотенузы:

\[
\text{{радиус}} = \frac{{\text{{половина гипотенузы}}}}{2}
\]

Осталось лишь найти половину длины гипотенузы, которую мы обозначим символом \( h \). Для этого воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Так как острый угол треугольника равен \( a \), то можно записать следующее:

\[
\sin(a) = \frac{{h}}{{\text{{гипотенуза}}}}
\]

Перегруппируем это уравнение для нахождения \( h \):

\[
h = \sin(a) \cdot \text{{гипотенуза}}
\]

Мы знаем, что длина гипотенузы равна 2, поэтому:

\[
h = \sin(a) \cdot 2
\]

Теперь мы можем подставить найденное значение \( h \) в формулу для радиуса:

\[
\text{{радиус}} = \frac{{h}}{2} = \frac{{\sin(a) \cdot 2}}{2} = \sin(a)
\]

Таким образом, радиус шара, вписанного в прямую призму с основанием в форме прямоугольного треугольника с острым углом \( a \) и гипотенузой 2, будет равен \( \sin(a) \).