Каков радиус шара, который вписан в данную восьмиугольную пирамиду, если известно, что апофема пирамиды равна

Для решения задачи о радиусе вписанного шара в восьмиугольную пирамиду с апофемой \( a \) и площадью вписанного круга в основании \( A \), мы можем использовать следующий подход.

Шар, вписанный в пирамиду, касается каждой из ее граней в одной точке. Рассмотрим треугольник, образованный двумя такими точками и вершиной пирамиды. Этот треугольник является равнобедренным, так как линия, соединяющая вершину пирамиды и центр вписанного шара, является высотой этого треугольника и делит его боковые стороны пополам.

Обозначим радиус вписанного шара через \( r \). Тогда высота треугольника равна \( r \), а основание - его боковая сторона - равно длине ребра основания пирамиды, так как шар касается основания пирамиды вписанным кругом.

По теореме Пифагора, которую можно применить к нашему равнобедренному треугольнику, мы можем выразить сторону основания пирамиды, используя площадь и апофему:

\[ s^2 = r^2 + a^2 \]

Для нахождения радиуса шара \( r \), нам нужно выразить \( r \) через \( A \) и \( a \), использовав данные из условия задачи. Площадь круга можно выразить как \( A = \pi r^2 \), поэтому \( r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \).

Таким образом, для нахождения радиуса шара вписанного в восьмиугольную пирамиду, мы должны вычислить значение \( r \), подставив известные значения \( A \) и \( a \) в выражение \( r = \sqrt{\frac{A}{\pi}} \).

Вычислим радиус:

\[ r = \sqrt{\frac{36\pi}{\pi}} = \sqrt{36} = 6 \]

Таким образом, радиус шара, вписанного в данную восьмиугольную пирамиду, равен 6. Ответ: \( r = 6 \).