Каков радиус шара, который вписан в данную восьмиугольную пирамиду, если известно, что апофема равна 10, а площадь

Чтобы найти радиус шара, вписанного в восьмиугольную пирамиду, нам понадобится использовать некоторые свойства геометрических фигур. Давайте разберемся пошагово.

1. Начнем с основания пирамиды, которое является восьмиугольником. У нас есть информация о площади круга, вписанного в основание, которая равна 36π. Для начала, найдем радиус этого круга.

Формула для площади круга выглядит следующим образом: S = πr².

Подставим известное значение площади и найдем радиус:
36π = πr².

Делим обе части уравнения на π:
36 = r².

Извлекаем квадратный корень и получаем радиус круга:
r = √36 = 6.

2. Теперь перейдем к самой пирамиде. Мы знаем, что между апофемой пирамиды и её высотой существует связь, которую мы можем использовать.

Апофема - это расстояние от вершины пирамиды до середины одной из её боковых граней. В нашем случае, апофема равна 10.

Высоту пирамиды обозначим как h.

С помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, получаем следующее соотношение:
r² + h² = a²,

где a - это сторона восьмиугольника, которая равна 2r (так как восьмиугольник можно разбить на 8 равных равнобедренных треугольников).

Подставим известные значения:
(6)² + h² = (2r)²,
36 + h² = (2(6))²,
36 + h² = 144.

Вычтем 36 из обеих частей:
h² = 144 - 36 = 108.

Извлекаем квадратный корень:
h = √108 = 6√3.

3. Теперь, когда у нас есть значение высоты пирамиды (h), можно найти радиус шара, вписанного в пирамиду, используя следующее соотношение:

r = h/3.

Подставим известное значение высоты:
r = (6√3)/3 = 2√3.

Итак, радиус шара, вписанного в данную восьмиугольную пирамиду, равен 2√3.