Каков радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC и имеющей центр в точке O, если расстояние от центра сферы

Для решения данной задачи воспользуемся формулой площади треугольника по формуле Герона.

Площадь треугольника ABC равна половине произведения длин его сторон, умноженной на синус угла между ними:

\[S_треуг. = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC)\]

Также у нас есть формула для вычисления площади треугольника через радиус описанной окружности:

\[S_треуг. = \frac{abc}{4R}\]

где a, b и c - длины сторон треугольника, а R - радиус описанной окружности.

В нашем случае, треугольник ABC является остроугольным, поэтому центр описанной окружности лежит внутри треугольника.

Для нахождения радиуса описанной окружности, и, соответственно, искомого радиуса сферы, будем использовать формулу:

\[R = \frac{abc}{4S_треуг.}\]

Подставим значения длин сторон треугольника ABC: AB = 3 см, BC = 5 см, AC = 7 см.

Сначала найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

\[p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{3 + 5 + 7}{2} = 7{,}5\]

\[S_треуг. = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{7{,}5(7{,}5 - 3)(7{,}5 - 5)(7{,}5 - 7)} = \sqrt{7{,}5 \cdot 4{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 0{,}5} = \sqrt{84{,}375} \approx 9{,}187\]

Теперь найдем радиус описанной окружности:

\[R = \frac{abc}{4S_треуг.} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 9{,}187} \approx 0{,}638\]

Таким образом, радиус сферы, касающейся всех сторон треугольника ABC и имеющей центр в точке O, равен примерно 0{,}638 см.

Для дополнительной проверки можно рассчитать синус угла между сторонами треугольника ABC и убедиться, что полученный радиус соответствует условиям задачи.