Каков радиус планеты Нептун, если масса планеты составляет 1,04*10^26 и спутник Нептуна находится на небольшой высоте

Для того чтобы найти радиус планеты Нептун, мы будем использовать формулу гравитационного закона и закон сохранения энергии.

Шаг 1: Используем гравитационный закон

Гравитационный закон устанавливает, что сила гравитационного притяжения между двумя объектами пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Выражение для силы гравитационного притяжения выглядит следующим образом:

\[F = G \frac{{m_1 m_2}}{{r^2}}\]

где F - сила гравитационного притяжения, G - гравитационная постоянная (около \(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}\)), \(m_1\) и \(m_2\) - массы двух объектов и \(r\) - расстояние между ними.

В данном случае, \(m_1\) - масса спутника Нептуна, \(m_2\) - масса планеты Нептун и \(r\) - радиус планеты.

Для удобства получим выражение для радиуса планеты:

\[\frac{{F \cdot r^2}}{{G m_2}} = m_1 \quad (1)\]

Шаг 2: Используем закон сохранения энергии

Закон сохранения энергии устанавливает, что сумма кинетической энергии и потенциальной энергии системы остается постоянной. Кинетическая энергия объекта, движущегося со скоростью \(v\) равна \(\frac{1}{2} m v^2\), а потенциальная энергия объекта массой \(m\) на высоте \(h\) в поле силы тяжести равна \(m g h\). В данном случае, потенциальная энергия спутника на небольшой высоте равна нулю (то есть спутник находится на поверхности планеты), поэтому получаем следующее выражение для кинетической энергии:

\[\frac{1}{2} m_1 v^2 = \frac{1}{2} m_1 (17.7 \times 10^3)^2 \quad (2)\]

Шаг 3: Найдем массу спутника

Массу спутника мы уже имеем, это \(m_1 = 1,04 \times 10^{26}\).

Шаг 4: Подставим значения в выражение (2)

\[\frac{1}{2} \times 1,04 \times 10^{26} \times (17.7 \times 10^3)^2 = 1,04 \times 10^{26} \times (17.7^2 \times 10^6) = 1,04 \times 10^{26} \times 313,29 \times 10^{6} = 1,04 \times 313,29 \times 10^{32} = 326,0296 \times 10^{32} = 3,260296 \times 10^{33}\]

\(3,260296 \times 10^{33}\) Дж - это значение кинетической энергии спутника.

Шаг 5: Подставим значение кинетической энергии в выражение (1)

\[\frac{{F \cdot r^2}}{{G m_2}} = 3,260296 \times 10^{33}\]

Мы не знаем силу гравитационного притяжения \(F\) и массу планеты \(m_2\), поэтому мы не можем получить точное значение радиуса планеты Нептун. Однако, если предположить, что спутник на небольшой высоте относительно радиуса планеты и его первая космическая скорость является достаточно малой, чтобы считать его падением с нулевой высоты, то можно использовать пренебрежение потенциальной энергией спутника и предположить, что кинетическая энергия спутника равна потенциальной энергии при падении. В этом случае, \(r\) в выражении (1) будет равен радиусу планеты.

С учетом этого предположения, мы можем записать уравнение:

\[\frac{{G m_1 m_2}}{{r}} = 3,260296 \times 10^{33}\]

Шаг 6: Подставим известные значения

\[\frac{{6,67430 \times 10^{-11} \times 1,04 \times 10^{26} \times m_2}}{{r}} = 3,260296 \times 10^{33}\]

Шаг 7: Решим уравнение относительно \(r\)

\[6,67430 \times 10^{-11} \times 1,04 \times 10^{26} \times m_2 = 3,260296 \times 10^{33} \times r\]

\[r = \frac{{6,67430 \times 10^{-11} \times 1,04 \times 10^{26} \times m_2}}{{3,260296 \times 10^{33}}}\]

Шаг 8: Подставим значение массы планеты Нептун, которая равна \(1,04 \times 10^{26}\)

\[r = \frac{{6,67430 \times 10^{-11} \times 1,04 \times 10^{26} \times (1,04 \times 10^{26})}}{{3,260296 \times 10^{33}}}\]

\[r = \frac{{6,67430 \times 1,04}}{{3,260296}} \times 10^{-22}\]

\[r \approx 2,133 \times 10^{-22}\]

Таким образом, радиус планеты Нептун примерно равен \(2,133 \times 10^{-22}\) метра.