Каков радиус планеты, на которой первая космическая скорость составляет 12 км/с, а ускорение свободного падения

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать формулу для нахождения первой космической скорости скорость и формулу для ускорения свободного падения на планете.

Первая космическая скорость (v) для планеты задается следующей формулой:

\[ v = \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{R}}} \]

где:
v - первая космическая скорость,
G - гравитационная постоянная,
M - масса планеты,
R - радиус планеты.

Ускорение свободного падения (g) на планете задается следующей формулой:

\[ g = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}} \]

где:
g - ускорение свободного падения,
G - гравитационная постоянная,
M - масса планеты,
R - радиус планеты.

На данном этапе, нам не дана масса планеты (M), поэтому мы не можем найти конкретное значение радиуса планеты. Однако, мы можем найти отношение радиуса планеты к массе, используя две формулы выше.

Сначала, давайте найдем отношение радиуса планеты к массе, приравнивая формулы для первой космической скорости и ускорения свободного падения:

\[ \sqrt{\frac{{2 \cdot G \cdot M}}{{R}}} = \frac{{G \cdot M}}{{R^2}} \]

Мы можем убрать гравитационную постоянную (G) и массу (M) из уравнения, получив:

\[ 2 \cdot R = R^2 \]

Теперь, давайте решим полученное квадратное уравнение:

\[ R^2 - 2 \cdot R = 0 \]

Факторизуем уравнение:

\[ R \cdot (R - 2) = 0 \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения для радиуса планеты: R = 0 или R = 2. Однако, радиус планеты не может быть равен 0, поэтому мы отбрасываем это решение. Следовательно, радиус планеты равен 2 километрам.

Ответ: Радиус планеты составляет 2 километра.