Каков радиус основания конуса, если образующая конуса и радиус описанной сферы равны 2 см? (с объяснением

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства конуса и сферы. Давайте начнем с определения основных понятий.

- Образующая конуса: это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на основании конуса. Обозначим образующую как $l$.
- Радиус описанной сферы: это расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности. Обозначим радиус сферы как $R$.

Теперь давайте решим задачу.

По условию задачи, определенные значения равны:

$$l=2\text{см}$$
$$R=2\text{см}$$

Чтобы найти радиус основания конуса ($r$), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Вспомним, что в прямоугольном треугольнике, у которого один из катетов равен радиусу основания конуса, а гипотенуза равна образующей, выполняется связь:

$$r^2+h^2=l^2$$

Где $h$ - это высота конуса.

Теперь нам осталось найти высоту конуса. Для этого нам понадобится другое свойство сферы и конуса - каждый радиус сферы, проведенный к точке касания с плоскостью основания конуса, перпендикулярен этой плоскости. Зная это, мы можем построить прямоугольный треугольник, у которого одна из сторон равна половине высоты конуса, а другая сторона равна радиусу основания конуса.

Таким образом, у нас есть два треугольника, которые нам нужно рассмотреть: прямоугольный треугольник, основание которого образовано половиной высоты конуса ($h/2$), и основание которого образовано радиусом конуса ($r$). Поэтому мы можем записать:

$$r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=R^2$$

Теперь, подставим известные значения в эту формулу и решим ее относительно $r$:

$$r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=R^2$$
$$r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=2^2$$
$$r^2+\frac{h^2}{4}=4$$
$$4r^2+h^2=16$$

Теперь воспользуемся первым уравнением $r^2+h^2=l^2$ и подставим его во второе уравнение:

$$4(l^2-r^2)+h^2=16$$
$$4l^2-4r^2+h^2=16$$
$$4l^2+h^2=16+4r^2$$

Мы знаем, что $l=2$, поэтому подставим это значение:

$$4(2{)}^2+h^2=16+4r^2$$
$$16+h^2=16+4r^2$$
$$h^2=4r^2$$

Теперь мы имеем систему уравнений:

$$4r^2+h^2=16$$
$$h^2=4r^2$$

Подставляя второе уравнение в первое, получим:

$$4r^2+4r^2=16$$
$$8r^2=16$$
$$r^2=\frac{16}{8}$$
$$r^2=2$$

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти $r$:

$$r=\sqrt{2}$$
$$r\approx 1.414\text{см}$$

Таким образом, радиус основания конуса составляет примерно $1.414$ см при условии, что образующая и радиус описанной сферы равны $2$ см.