Каков радиус основания конуса, если образующая конуса и радиус описанной сферы равны 2 см? (с объяснением

Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства конуса и сферы. Давайте начнем с определения основных понятий.

- Образующая конуса: это отрезок, соединяющий вершину конуса с точкой на основании конуса. Обозначим образующую как \(l\).
- Радиус описанной сферы: это расстояние от центра сферы до любой точки на ее поверхности. Обозначим радиус сферы как \(R\).

Теперь давайте решим задачу.

По условию задачи, определенные значения равны:

\[l = 2 \, \text{см}\]
\[R = 2 \, \text{см}\]

Чтобы найти радиус основания конуса (\(r\)), мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Вспомним, что в прямоугольном треугольнике, у которого один из катетов равен радиусу основания конуса, а гипотенуза равна образующей, выполняется связь:

\[r^2 + h^2 = l^2\]

Где \(h\) - это высота конуса.

Теперь нам осталось найти высоту конуса. Для этого нам понадобится другое свойство сферы и конуса - каждый радиус сферы, проведенный к точке касания с плоскостью основания конуса, перпендикулярен этой плоскости. Зная это, мы можем построить прямоугольный треугольник, у которого одна из сторон равна половине высоты конуса, а другая сторона равна радиусу основания конуса.

Таким образом, у нас есть два треугольника, которые нам нужно рассмотреть: прямоугольный треугольник, основание которого образовано половиной высоты конуса (\(h/2\)), и основание которого образовано радиусом конуса (\(r\)). Поэтому мы можем записать:

\[r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2\]

Теперь, подставим известные значения в эту формулу и решим ее относительно \(r\):

\[r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2\]
\[r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = 2^2\]
\[r^2 + \frac{h^2}{4} = 4\]
\[4r^2 + h^2 = 16\]

Теперь воспользуемся первым уравнением \(r^2 + h^2 = l^2\) и подставим его во второе уравнение:

\[4(l^2 - r^2) + h^2 = 16\]
\[4l^2 - 4r^2 + h^2 = 16\]
\[4l^2 + h^2 = 16 + 4r^2\]

Мы знаем, что \(l = 2\), поэтому подставим это значение:

\[4(2)^2 + h^2 = 16 + 4r^2\]
\[16 + h^2 = 16 + 4r^2\]
\[h^2 = 4r^2\]

Теперь мы имеем систему уравнений:

\[4r^2 + h^2 = 16\]
\[h^2 = 4r^2\]

Подставляя второе уравнение в первое, получим:

\[4r^2 + 4r^2 = 16\]
\[8r^2 = 16\]
\[r^2 = \frac{16}{8}\]
\[r^2 = 2\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон, чтобы найти \(r\):

\[r = \sqrt{2}\]
\[r \approx 1.414 \, \text{см}\]

Таким образом, радиус основания конуса составляет примерно \(1.414\) см при условии, что образующая и радиус описанной сферы равны \(2\) см.