Каков радиус орбиты второго спутника, который движется вокруг однородной сферической планеты вместе с первым спутником

Для решения этой задачи мы можем использовать законы движения Ньютона и закон всемирного тяготения. Движение спутников описывается формулой центробежной силы:

\[ F = \frac{{m v^2}}{r} \]

где \( F \) - центробежная сила, \( m \) - масса спутника, \( v \) - скорость спутника и \( r \) - радиус орбиты спутника.

По условию задачи мы знаем, что первый спутник имеет массу \( 80 \) кг и радиус орбиты \( 1200 \) км. Мы также знаем, что имеется второй спутник с массой \( 320 \) кг.

Из условия задачи мы также видим, что оба спутника притягиваются к планете с одинаковой по модулю силой. Это означает, что центробежная сила, действующая на оба спутника, должна быть одинаковой.

Мы можем выразить скорость первого спутника через его радиус орбиты и решить уравнение, чтобы найти эту скорость:

\[ F_1 = \frac{{m_1 v_1^2}}{r_1} \]

где \( F_1 \) - центробежная сила для первого спутника, \( m_1 \) - масса первого спутника, \( v_1 \) - скорость первого спутника и \( r_1 \) - радиус орбиты первого спутника.

Так как центробежные силы для обоих спутников равны, мы можем записать:

\[ \frac{{m_1 v_1^2}}{r_1} = \frac{{m_2 v_2^2}}{r_2} \]

подставив значения \( m_1 = 80 \) кг, \( r_1 = 1200 \) км и \( m_2 = 320 \) кг, мы можем решить это уравнение относительно \( v_2 \) и получить скорость второго спутника.

\[ \frac{{80 \times v_1^2}}{1200} = \frac{{320 \times v_2^2}}{r_2} \]

Теперь мы можем использовать закон всемирного тяготения для связи между массой планеты, массами спутников и радиусами их орбит:

\[ F = G \cdot \frac{{m_1 \cdot m_2}}{r^2} \]

где \( F \) - сила гравитационного притяжения, \( G \) - гравитационная постоянная, \( m_1 \) и \( m_2 \) - массы спутников, а \( r \) - расстояние между спутниками.

Учитывая, что сила гравитации равна центробежной силе, мы можем записать:

\[ \frac{{m_1 \cdot m_2}}{r^2} = \frac{{m_1 \cdot v_1^2}}{r_1} = \frac{{m_2 \cdot v_2^2}}{r_2} \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( r_2 \) и найти радиус орбиты второго спутника.

\[ r_2 = \frac{{m_2 \cdot v_2^2 \cdot r_1}}{{m_1 \cdot v_1^2}} \]

Подставив значения \( m_1 = 80 \) кг, \( r_1 = 1200 \) км, \( m_2 = 320 \) кг и найденную скорость \( v_2 \), мы можем рассчитать радиус орбиты второго спутника.