Каков радиус орбиты планеты вокруг звезды с массой, в два раза большей, чем масса Солнца?

Чтобы найти радиус орбиты планеты вокруг звезды с массой, в два раза большей, чем масса Солнца, мы можем использовать законы Кеплера и уравнение гравитации.

Закон Кеплера описывает движение планет вокруг звезды и гласит, что квадрат периода орбиты планеты пропорционален кубу её полуоси.

Период обращения планеты вокруг звезды, \(T\), представляет собой время, за которое планета совершает один полный оборот вокруг звезды. Масса звезды, \(M\), в два раза больше, чем масса Солнца, поэтому масса звезды равна \(2M_{\odot}\), где \(M_{\odot}\) - масса Солнца.

Полуось орбиты планеты, \(a\), представляет собой среднее расстояние между планетой и звездой.

Уравнение гравитации между планетой и звездой выглядит следующим образом:

\[F = \frac{{G \cdot M_{\text{{планеты}}} \cdot M_{\text{{звезды}}}}}{{r^2}}\]

где \(F\) - сила гравитации, \(G\) - гравитационная постоянная, \(M_{\text{{планеты}}}\) - масса планеты, \(M_{\text{{звезды}}}\) - масса звезды, \(r\) - расстояние между планетой и звездой.

Когда планета движется по орбите, сила гравитации, действующая на неё, равна центростремительной силе и выражается следующим образом:

\[F = \frac{{M_{\text{{планеты}}} \cdot v^2}}{r}\]

где \(v\) - скорость планеты при её движении по орбите.

Зная, что сила гравитации и центростремительная сила равны, мы можем сопоставить эти уравнения:

\[\frac{{G \cdot M_{\text{{планеты}}} \cdot M_{\text{{звезды}}}}}{{r^2}} = \frac{{M_{\text{{планеты}}} \cdot v^2}}{r}\]

Перенесем все переменные, связанные с планетой, на одну сторону уравнения, а все переменные, связанные с звездой, на другую сторону:

\[\frac{{G \cdot M_{\text{{звезды}}}}}{{r^2}} = \frac{{v^2}}{r}\]

Учитывая, что скорость \(v\) равна \(2\pi \cdot a / T\) (из закона Кеплера), мы можем заменить \(v^2\) в уравнении:

\[\frac{{G \cdot M_{\text{{звезды}}}}}{{r^2}} = \frac{{(2\pi \cdot a / T)^2}}{r}\]

Упростим это уравнение дальше, выразив \(r\):

\[\frac{{G \cdot M_{\text{{звезды}}}}}{{r^2}} = \frac{{4 \cdot (\pi^2) \cdot a^2}}{{r \cdot T^2}}\]

Умножим обе части уравнения на \(r^2\) и поделим на \(4 \cdot (\pi^2) \cdot a^2\):

\[\frac{{G \cdot M_{\text{{звезды}}}}}{{4 \cdot (\pi^2) \cdot a^2}} = \frac{1}{{r \cdot T^2}}\]

Инвертируем обе части уравнения:

\[\frac{{4 \cdot (\pi^2) \cdot a^2}}{{G \cdot M_{\text{{звезды}}}}}} = r \cdot T^2\]

Теперь можем выразить радиус орбиты, \(r\):

\[r = \frac{{4 \cdot (\pi^2) \cdot a^2}}{{G \cdot M_{\text{{звезды}}}}} \cdot T^2\]

Таким образом, радиус орбиты планеты вокруг звезды с массой, в два раза большей, чем масса Солнца, равен \(\frac{{4 \cdot (\pi^2) \cdot a^2}}{{G \cdot 2M_{\odot}}}} \cdot T^2\), где \(a\) - полуось орбиты, \(G\) - гравитационная постоянная и \(T\) - период обращения планеты вокруг звезды.