Каков радиус орбиты круговой траектории спутника, который движется по экваториальной плоскости и всегда остается

Хорошо, давайте решим данную задачу. Для начала, нам понадобятся некоторые данные. Обозначим \(R\) радиус Земли, который составляет около 6371 километра. Чтобы спутник оставался над одной и той же точкой земной поверхности, его орбита должна быть геостационарной. Это означает, что спутник должен двигаться с той же самой угловой скоростью, с которой вращается Земля. Угловая скорость вращения Земли равна приблизительно \(2\pi/24\) радиан в час, так как Земля совершает полный оборот вокруг своей оси за 24 часа.

Давайте рассмотрим спутник на данной орбите. Будем считать, что спутник движется вдоль экватора Земли по круговой траектории. За один полный оборот спутнику потребуется 24 часа, так как его угловая скорость равна угловой скорости Земли.

Чтобы определить радиус орбиты спутника, нам понадобятся две величины: ускорение свободного падения на поверхности Земли \(g\) и период обращения спутника \(T\).

\(g\) на поверхности Земли равно примерно 9.8 м/с². Это ускорение показывает, как быстро объект ускоряется под воздействием силы притяжения Земли. Но в данной задаче спутник уже находится на определенной высоте, где гравитационная сила и центростремительная сила должны быть равны. Поэтому мы будем использовать ускорение свободного падения \(g\) только для определения угловой скорости спутника.

Период обращения спутника \(T\) равен 24 часам, так как спутник должен совершить полный оборот за это время.

Теперь мы можем приступить к расчету радиуса орбиты спутника. Для этого используем следующие формулы:

Угловая скорость \(\omega\) можно выразить через период обращения спутника \(T\):

\[\omega = \frac{2\pi}{T}\]

Центростремительное ускорение \(a_c\) можно выразить через радиус орбиты \(r\) и угловую скорость \(\omega\), используя формулу:

\[a_c = r \cdot \omega^2\]

Центростремительное ускорение также связано с ускорением свободного падения \(g\) следующим соотношением:

\[a_c = g\]

Теперь, чтобы найти радиус орбиты спутника \(r\), мы должны решить уравнение:

\[g = r \cdot \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\]

Подставляем известные значения:

\[9.8 = r \cdot \left(\frac{2\pi}{24}\right)^2\]

Теперь давайте решим это уравнение для \(r\):

\[r = \frac{9.8 \cdot 24^2}{(2\pi)^2}\]

Вычислив данное выражение, получаем радиус орбиты спутника:

\[r \approx 42164 \, \text{километра}\]

Таким образом, радиус орбиты спутника, который движется по геостационарной траектории над одной и той же точкой Земли, составляет примерно 42164 километра.