Каков радиус окружности, вписанной в треугольник MNK, если биссектриса угла М пересекает высоту NP в точке L так

Для решения данной задачи построим схему и введем обозначения.

Обозначим радиус вписанной окружности как \(r\), стороны треугольника MNK как \(MN\), \(NK\) и \(KM\) соответственно, а высоту треугольника из вершины \(N\) как \(NP\). Также обозначим точку пересечения биссектрисы угла \(M\) и высоты \(NP\) как \(L\).

Согласно условию, имеем отношение \(\frac{{NL}}{{LP}} = \frac{{13}}{{12}}\).

Также известно, что биссектриса угла \(M\) делит сторону \(NK\) на две части в отношении радиусов вписанной окружности и описанной окружности, то есть \(\frac{{NK}}{{KL}} = \frac{{r}}{{R}}\), где \(R\) - радиус описанной окружности.

Имея эти отношения, можем составить уравнение и решить его. Уравнение будет выглядеть следующим образом:

\(\frac{{NL}}{{LP}} = \frac{{13}}{{12}}\) и \(\frac{{NK}}{{KL}} = \frac{{r}}{{R}}\).

Распространим данное уравнение с помощью радиусов \(r\) и \(R\):

\(\frac{{13r}}{{12R}} = \frac{{13}}{{12}}\) и \(\frac{{NK}}{{KL}} = \frac{{r}}{{R}}\).

Теперь можем решить данное уравнение. Подставим значение \(\frac{{13}}{{12}}\) в первое уравнение:

\(\frac{{13r}}{{12R}} = \frac{{13}}{{12}}\).

Упростим данное уравнение, умножив обе стороны на 12:

\(13r = 13R\).

Теперь можем сократить на 13:

\(r = R\).

Значит, радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности равны друг другу.

Таким образом, ответ на задачу: радиус окружности, вписанной в треугольник MNK, равен радиусу описанной окружности.