Каков радиус окружности, вписанной в треугольник abc, если точки m и n делят

Question

Геометрия: Каков радиус окружности, вписанной в треугольник abc, если точки m и n делят боковые стороны ab и cb равнобедренного треугольника abc в отношении 1: 3, периметр треугольника abc составляет 128/3

Звездная_Ночь · Accepted Answer

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойствами треугольников и окружностей.

Пусть радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен \(r\).

Так как точки M и N делят боковые стороны AB и CB в отношении 1:3, то можно предположить, что длина отрезков AM и NC равна \(\frac{1}{4}\) длины соответствующих боковых сторон треугольника ABC.

Обозначим длину стороны AB треугольника ABC как \(a\) и длину стороны BC как \(c\). Тогда длина стороны AC равна \(a + c - 2r\) (по свойству равнобедренного треугольника, где основания равны сторонам треугольника, а вершина - точка касания окружности с треугольником).

Периметр треугольника ABC определяется формулой:

\[P = AB + BC + AC\]

Заменяем значениями:

\[\frac{128}{3} = a + c + (a + c - 2r)\]

Упрощаем:

\[\frac{128}{3} = 2a + 2c - 2r\]

Делим обе части уравнения на 2:

\[\frac{64}{3} = a + c - r\]

Далее, зная, что длина стороны AB треугольника ABC равна \(a\), а длина стороны BC равна \(c\), можем записать следующие равенства:

\[a = 4 \cdot AM = 4r\]
\[c = 4 \cdot CN = 4r\]

Подставляем значения в уравнение:

\[\frac{64}{3} = 4r + 4r - r\]

Упрощаем:

\[\frac{64}{3} = 7r\]

Находим значение радиуса:

\[r = \frac{\frac{64}{3}}{7} = \frac{64}{21}\]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \(\frac{64}{21}\).

Каков радиус окружности, вписанной в треугольник abc, если точки m и n делят боковые стороны ab и cb равнобедренного

Звездная_Ночь

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!