Каков радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, если AD : AB = 1 : 14? Ответ округлите до двух знаков после

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, нам понадобится использовать свойство касательной, проведенной к окружности, которая касается стороны треугольника в точке касания.

Первым шагом мы заметим, что отношение длин сторон AD и AB равно 1:14. Так как точка D является точкой касания окружности, а сторона AB - касательной, их отношение равно отношению секущих.

Вспомним, что секущая, проведенная к окружности извне, делит её на две части в пропорции, равной квадратам длин отрезков, на которые она делит хорду.

Поэтому отношение (AD)^2 : (AB)^2 будет равно отношению, в котором сторона AD делит сторону AB.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

\[
\left(\frac{{AD}}{{AB}}\right)^2 = \left(\frac{{r}}{{r+d}}\right)^2
\]

Где r - радиус вписанной окружности, а d - расстояние между точкой D и точкой пересечения сторон BC и AD.

Теперь мы можем подставить известные значения. Мы знаем, что отношение AD:AB равно 1:14, поэтому можем записать:

\[
\left(\frac{{1}}{{14}}\right)^2 = \left(\frac{{r}}{{r+d}}\right)^2
\]

Теперь нам нужно найти значение r, радиуса окружности. Для этого решим уравнение относительно r.

\[
\frac{{1}}{{14}} = \frac{{r}}{{r+d}}
\]

Перекрестное умножение даёт нам:

\[
r = \frac{{d}}{{14-d}}
\]

Для решения задачи нам понадобится ещё одно свойство треугольника: сумма длин двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Применим это к нашему треугольнику ABC:

AB + BC > AC

AB + AD + DC > AC

AB + AD + d > AC

Заметим, что AB + AD = 14, поэтому получаем:

14 + d > AC

Теперь мы можем предложить следующий шаг. Для решения задачи нам понадобится выразить AC через r и d. Мы знаем, что сторона AC треугольника ABC равна сумме сторон AD и DC.

AC = AD + DC

AC = r + r

AC = 2r

Теперь мы можем заменить AC в неравенстве:

14 + d > 2r

Теперь нам нужно выразить r через d. Для этого подставим выражение для r, полученное ранее:

14 + d > 2 \cdot \frac{{d}}{{14-d}}

Далее решим данное неравенство.