Каков радиус окружности, вписанной в ромб, площадь которого равна 600 квадратным сантиметрам, если известно, что радиус

Так как в ромбе вписана окружность, то каждая сторона ромба касается окружности в одной точке. Площадь ромба можно найти по формуле:

\[S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\]

где \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. В случае вписанной окружности, диагонали ромба равны двум радиусам окружности. Имея площадь ромба, мы можем найти одну из его диагоналей:

\[d_1 = \sqrt{\frac{2S}{\sin{\alpha}}}\]

где \(S\) - площадь ромба, а \(\alpha\) - угол между диагоналями ромба. В нашем случае, площадь ромба равна 600 квадратным сантиметрам.

Известно, что радиус окружности равен 12 сантиметрам. Чтобы найти вторую диагональ ромба, можно использовать теорему Пифагора в треугольнике, образованном радиусом окружности и сторонами ромба:

\[\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + r^2} = \sqrt{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + r^2}\]

где \(r\) - радиус окружности.

Решим данную систему уравнений:

\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{2S}{\sin{\alpha}}} = d_1\\
\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + r^2} = \sqrt{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + r^2}
\end{cases}
\]

В подстановку подставим известные значения: \(S = 600\), \(\alpha = 90^\circ\) и \(r = 12\).

\[
\begin{cases}
\sqrt{\frac{2 \cdot 600}{\sin{90}}} = d_1\\
\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + 12^2} = \sqrt{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 12^2}
\end{cases}
\]

Учитывая, что \(\sin{90} = 1\), получаем:

\[
\begin{cases}
d_1 = \sqrt{1200}\\
\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + 12^2} = \sqrt{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 12^2}
\end{cases}
\]

Выразим вторую диагональ:

\[
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + 12^2 = \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 + 12^2
\]

\[
\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 = \left(\frac{d_2}{2}\right)^2
\]

\[
d_1^2 = d_2^2
\]

Так как \(d_1 = \sqrt{1200}\), то \(d_2 = \sqrt{1200}\).

Так как диагонали ромба являются основаниями прямоугольного треугольника с гипотенузой равной радиусу окружности, мы можем найти радиус окружности:

\[
r = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 - 12^2}
\]

Подставим известные значения:

\[
r = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{1200}}{2}\right)^2 - 12^2} \approx 8.7178
\]

Итак, радиус окружности, вписанной в ромб с площадью 600 квадратных сантиметров и известным радиусом 12 сантиметров, составляет примерно 8.7178 сантиметров.