Каков радиус окружности, вписанной в данный квадрат, если радиус окружности, описанной вокруг этого квадрата

Для решения этой задачи, нам необходимо использовать знания о связи радиусов окружностей, вписанных и описанных вокруг квадрата.

Предположим, что сторона квадрата равна \(a\), а радиус вписанной окружности равен \(r\). Мы знаем, что вписанная окружность касается каждой стороны квадрата в одной точке. Таким образом, диагональ квадрата является диаметром вписанной окружности.

Диагональ квадрата можно выразить с помощью теоремы Пифагора. Для прямоугольного треугольника, образованного диагональю квадрата, сторонами будут \(a\) и \(a\sqrt{2}\), а гипотенузой - двойной радиус описанной окружности, т.е. \(2 \cdot 26\sqrt{2}\).
Применяя теорему Пифагора, получаем следующее равенство:
\[(a^2) + (a\sqrt{2})^2 = (2 \cdot 26\sqrt{2})^2\]
Выполняем вычисления:
\[a^2 + 2a^2 = 4 \cdot 2 \cdot 26^2 \]
\[3a^2 = 4 \cdot 2 \cdot 26^2\]
\[3a^2 = 4 \cdot 2 \cdot (26^2)\]
Теперь мы можем определить сторону квадрата:
\[a^2 = \frac{4 \cdot 2 \cdot (26^2)}{3}\]
\[a^2 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 676}{3}\]
\[a^2 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 676}{3}\]
\[a^2 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 676}{3}\]
\[a^2 = \frac{4 \cdot 2 \cdot 676}{3}\]
Выполняем вычисления:
\[a^2 = 4 \cdot 2 \cdot 676 = 2704\]
\[a = \sqrt{2704} = 52\]

Теперь, когда мы знаем сторону квадрата (\(a = 52\)), мы можем легко рассчитать радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности всегда равен половине стороны квадрата:
\[r = \frac{a}{2} = \frac{52}{2} = 26\]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный квадрат, равен 26.