Какова вероятность того, что оставшаяся в копилке сумма будет менее 170 рублей, если Андрей достает одну монету наугад

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать метод вероятности.

Давайте сначала посчитаем общую сумму денег, содержащуюся в копилке. У нас есть 9 монет по 1 рублю, 11 монет по 2 рубля, 12 монет по 5 рублей и 8 монет по 10 рублей.

Общая сумма денег в копилке равна:
\[1 \cdot 9 + 2 \cdot 11 + 5 \cdot 12 + 10 \cdot 8 = 9 + 22 + 60 + 80 = 171 \text{ рубль}\]

Теперь мы можем перейти к рассмотрению вероятности. Чтобы определить вероятность того, что оставшаяся сумма будет менее 170 рублей, мы можем взять во внимание все возможные комбинации монет, которые могут быть извлечены из копилки.

Вероятность того, что Андрей достаёт одну монету, равномерно распределенную внутри копилки, можно рассчитать как отношение количества монет разного номинала к общему количеству монет в копилке.

Поэтому имеем:

- Вероятность достать монету номиналом 1 рубль: \(\frac{9}{9+11+12+8} = \frac{9}{40}\)
- Вероятность достать монету номиналом 2 рубля: \(\frac{11}{9+11+12+8} = \frac{11}{40}\)
- Вероятность достать монету номиналом 5 рублей: \(\frac{12}{9+11+12+8} = \frac{12}{40}\)
- Вероятность достать монету номиналом 10 рублей: \(\frac{8}{9+11+12+8} = \frac{8}{40}\)

Теперь предположим, что монета достается из копилки. Мы должны учесть, что достав одну монету, мы уменьшаем общую сумму денег в копилке.

Выпишем возможные комбинации монет и вероятности для каждой комбинации:

1. Монета номиналом 1 рубль (вероятность = \(\frac{9}{40}\)):
- Андрей вытаскивает монету номиналом 1 рубль. Оставшаяся сумма составит 171 - 1 = 170 рублей.
- Андрей вытаскивает одну из оставшихся монет номиналом 1 рубль. Оставшаяся сумма составит 170 - 1 = 169 рублей.
- Вероятность каждой из этих комбинаций также равна \(\frac{9}{40}\), поскольку мы вытаскиваем монеты номиналом 1 рубль с одинаковой вероятностью.

2. Монета номиналом 2 рубля (вероятность = \(\frac{11}{40}\)):
- Андрей вытаскивает монету номиналом 2 рубля. Оставшаяся сумма составит 171 - 2 = 169 рублей.
- Андрей вытаскивает одну из оставшихся монет номиналом 2 рубля. Оставшаяся сумма составит 169 - 2 = 167 рублей.
- Андрей вытаскивает монету номиналом 1 рубль и одну из оставшихся монет номиналом 2 рубля. Оставшаяся сумма составит 169 - 1 - 2 = 166 рублей.
- Вероятность каждой из этих комбинаций также равна \(\frac{11}{40}\).

3. Монета номиналом 5 рублей (вероятность = \(\frac{12}{40}\)):
- Андрей вытаскивает монету номиналом 5 рублей. Оставшаяся сумма составит 171 - 5 = 166 рублей.
- Андрей вытаскивает одну из оставшихся монет номиналом 5 рублей. Оставшаяся сумма составит 166 - 5 = 161 рубль.
- Андрей вытаскивает монету номиналом 1 рубль, монету номиналом 2 рубля и одну из оставшихся монет номиналом 5 рублей. Оставшаяся сумма составит 169 - 1 - 2 - 5 = 161 рубль.
- Вероятность каждой из этих комбинаций также равна \(\frac{12}{40}\).

4. Монета номиналом 10 рублей (вероятность = \(\frac{8}{40}\)):
- Андрей вытаскивает монету номиналом 10 рублей. Оставшаяся сумма составит 171 - 10 = 161 рубль.
- Андрей вытаскивает одну из оставшихся монет номиналом 10 рублей. Оставшаяся сумма составит 161 - 10 = 151 рубль.
- Вероятность каждой из этих комбинаций также равна \(\frac{8}{40}\).

Теперь мы можем сложить все вероятности и получить общую вероятность того, что оставшаяся сумма будет менее 170 рублей:

\[\frac{9}{40} \cdot \frac{9}{40} + \frac{11}{40} \cdot \frac{11}{40} + \frac{12}{40} \cdot \frac{12}{40} + \frac{8}{40} \cdot \frac{8}{40} = \frac{81}{1600} + \frac{121}{1600} + \frac{144}{1600} + \frac{64}{1600} = \frac{410}{1600} = 0,25625\]

Однако, мы рассматривали только случаи, когда оставшаяся сумма будет точно меньше 170 рублей. Если мы хотим найти вероятность, что она будет МЕНЕЕ или РАВНА 170 рублям, то мы должны также учесть случай, когда Андрей достает из копилки монету номиналом 2 рубля и оставшаяся сумма составит ровно 170 рублей.

Вероятность достать монету номиналом 2 рубля и составить оставшуюся сумму в 170 рублей равна \(\frac{11}{40} \cdot \frac{1}{40} = \frac{11}{1600}\).

Суммируем эту вероятность с предыдущим результатом:
\[0,25625 + \frac{11}{1600} = 0,25625 + 0,006875 = 0,263125 \approx 0,263\]

Таким образом, вероятность того, что оставшаяся сумма будет МЕНЕЕ или РАВНА 170 рублям, составляет примерно 0,263.