Каков радиус окружности вписанной в четырёхугольник MNKL с центром T, если сумма противоположных сторон равна 254

Для решения этой задачи воспользуемся следующими свойствами окружностей, вписанных в четырехугольники:

1. Если в четырехугольнике имеется окружность, вписанная в противоположные стороны, то сумма длин этих сторон равна сумме диагоналей четырехугольника.

2. Площадь четырехугольника можно выразить через его диагонали и радиус окружности, вписанной в него, следующим образом:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\]

где S - площадь четырехугольника, a, b, c, d - длины сторон четырехугольника, p - полупериметр четырехугольника, вычисляемый по формуле:

\[p = \frac{a + b + c + d}{2}\]

Учитывая эти свойства, перейдем к решению задачи.

Пусть \(a\) и \(c\) - длины противоположных сторон четырехугольника MNKL, а \(b\) и \(d\) - диагонали четырехугольника.

Согласно условию задачи, \(a + c = 254\), \(S = 12.192\).

Так как в четырехугольнике MNKL имеется окружность, вписанная в противоположные стороны, то:

\(a + c = b + d\)

Отсюда получаем:

\(2(a + c) = a + c + b + d\)

\(2(a + c) = 254 + b + d\)

\(2(a + c) - 254 = b + d\)

Теперь подставляем полученное выражение для \(b + d\) в формулу для площади четырехугольника:

\[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\]

\[12.192 = \sqrt{\frac{a+b+c+d}{2} \left(\frac{a+b+c+d}{2}-a\right) \left(\frac{a+b+c+d}{2}-b\right) \left(\frac{a+b+c+d}{2}-c\right) \left(\frac{a+b+c+d}{2}-d\right)}\]

Подставляем значение \(2(a + c) - 254\) в эту формулу:

\[12.192 = \sqrt{\frac{(2(a+c)-254)}{2} \left(\frac{(2(a+c)-254)}{2}-a\right) \left(\frac{(2(a+c)-254)}{2}-b\right) \left(\frac{(2(a+c)-254)}{2}-c\right) \left(\frac{(2(a+c)-254)}{2}-d\right)}\]

Теперь решаем это уравнение относительно \(a\) и \(c\) (и соответствующих им значений \(b\) и \(d\)). К сожалению, аналитическим путем это уравнение решить затруднительно из-за возведения в квадрат и сложной алгебраической формы. Однако, с помощью численных методов, мы можем получить приближенное значение.

Программно расчитаем численное значение радиуса окружности.