Каков радиус окружности, в которую вписан треугольник АВС со сторонами АВ= 2, BC= корень из 7 и AC= 3? Какова величина

Для начала, рассмотрим вписанный треугольник АВС и закон описанных углах (теорему о вписанных углах). По этому закону, сумма углов, соответствующих двум равным дугам, равна 180 градусам. Поскольку треугольник АВС вписан в окружность, его углы будут соответствовать дугам окружности:

\(\angle BAC\) соответствует дуге BC,
\(\angle ABC\) соответствует дуге AC,
\(\angle BCA\) соответствует дуге AB.

Первым шагом нам нужно найти длину дуги BC. Для этого воспользуемся формулой длины дуги окружности: \(L = r \cdot \theta\), где L - длина дуги, r - радиус окружности, \(\theta\) - центральный угол, измеряемый в радианах.

Длина дуги BC равна длине стороны BC треугольника ABC, то есть \(\sqrt{7}\). Также известно, что длина стороны BC равна \(\theta \cdot r\). Подставим известные значения в формулу:

\(\sqrt{7} = \theta \cdot r\)

Теперь нам нужно найти центральный угол \(\theta\).

Зная стороны треугольника ABC, мы можем использовать формулу треугольника для нахождения угла, между двумя сторонами. Пусть \(a = BC\), \(b = AC\) и \(c = AB\) - стороны треугольника.

Применим формулу к треугольнику ABC и найдем угол BAC:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\]

Подставим известные значения:

\[\cos(\angle BAC) = \frac{3^2 + \sqrt{7}^2 - 2^2}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}}\]

\[\cos(\angle BAC) = \frac{9 + 7 - 4}{2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7}}\]

\[\cos(\angle BAC) = \frac{12}{6 \sqrt{7}}\]

\[\cos(\angle BAC) = \frac{2}{\sqrt{7}}\]

Теперь найдем угол \(\angle BAC\), взяв обратный косинус от значения, полученного выше:

\[\angle BAC = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{7}}\right)\]

Вычисляя это выражение с помощью калькулятора или программы для вычисления тригонометрических функций, получаем:

\[\angle BAC \approx 0.428 \, \text{радиан} \approx 24.536^\circ\]

Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник АВС, равен \(\sqrt{7}/\theta\), а значение угла А в этом треугольнике составляет примерно 24.536 градусов.