Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника, если один из его углов составляет 60°, а длина противолежащей

Для решения задачи нам понадобятся некоторые свойства описанных окружностей. Рассмотрим треугольник, в котором один из углов равен 60° и противолежащая ему сторона равна 30 см.

Первое свойство заключается в том, что радиус описанной окружности перпендикулярен стороне треугольника, на которую он опирается. В данном случае, это будет сторона, длина которой равна 30 см.

Второе свойство состоит в том, что радиус описанной окружности является радиусом окружности, проходящей через вершины треугольника. То есть, радиус окружности будет равен расстоянию от центра окружности до любой вершины треугольника.

Таким образом, чтобы найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, мы можем использовать равнобедренный треугольник, образованный одной из сторон описанного треугольника и радиусом окружности. В этом треугольнике радиус окружности будет половиной основания (стороны, на которой треугольник опирается).

Введем обозначения:
\(R\) - радиус описанной окружности,
\(AB\) - сторона треугольника равная 30 см,
\(O\) - центр описанной окружности,
\(C\) - точка, где окружность пересекает сторону треугольника \(AB\).

Таким образом, по свойству равнобедренного треугольника, отрезок \(CO\) будет равен радиусу окружности, то есть \(CO = R\), а отрезок \(CB\) будет равен половине стороны треугольника, то есть \(CB = \frac{AB}{2} = \frac{30}{2} = 15\) см.

Мы можем привести это к уравнению:
\[CO^2 = CB^2 + BO^2\]

Подставляя значения, получим:
\[R^2 = 15^2 + BO^2\]

Так как у нас только одно уравнение и только одно неизвестное, мы можем его решить.

Чтобы избавиться от квадрата в уравнении, найдем BO, пользуясь теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника BOC:
\[BO^2 = CO^2 - CB^2 = R^2 - 15^2\]

Теперь уравнение выглядит следующим образом:
\[R^2 = 15^2 + (R^2 - 15^2)\]
\[R^2 = 225 + R^2 - 225\]
\[0 = R^2 - R^2 + 225 - 225\]
\[0 = 0\]

Получается, что уравнение не зависит от \(R\). Это означает, что радиус описанной окружности может принимать любое значение. Поэтому ответом на задачу является: радиус окружности может быть любым числом.