Каков радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, если сторона AB равна 3 2 и угол C равен 135°?

Хорошо, чтобы определить радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, нам понадобится использовать связь между радиусом окружности и длинами сторон треугольника.

В данной задаче известны длина стороны AB, которая равна \(\sqrt{3}\), и угол C, который равен 135°.

Для начала, давайте вспомним некоторые свойства окружности, описанной вокруг треугольника. Радиус R такой окружности проходит через середины всех сторон треугольника, и он перпендикулярен каждой стороне в её середине.

Таким образом, чтобы найти радиус окружности, мы можем использовать формулу R = \( \frac{abc}{4S} \), где a, b, c - длины сторон треугольника, а S - его площадь.

Поскольку у нас только одна сторона и один угол, давайте использовать теорему синусов, чтобы найти площадь треугольника.

Теорема синусов гласит, что отношение длин сторон треугольника к синусам противолежащих углов является постоянной величиной. Таким образом, можно записать следующее соотношение:

\(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}\), где A, B и C - соответствующие углы треугольника.

В нашем случае дано, что сторона AB равна \(\sqrt{3}\) и угол C равен 135°.

Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти длины других сторон треугольника. Так как угол C равен 135°, сумма остальных углов треугольника равна 45°.

Поскольку сумма углов треугольника всегда равна 180°, у нас есть угол равный 45° и два угла будут 45° и 90°.

Теперь мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти длину стороны BC:

\(\frac{\sqrt{3}}{\sin 45°} = \frac{BC}{\sin 90°}\)

Синус 45° равен \(\frac{\sqrt{2}}{2}\), а синус 90° равен 1, поэтому получим:

\(\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = BC\)

Упростим выражение:

\(BC = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}\)

\(BC = \sqrt{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{2}\)

\(BC = 2\sqrt{6}\)

Таким образом, длина стороны BC равна \(2\sqrt{6}\).

Теперь, чтобы найти радиус окружности, мы будем использовать формулу R =\( \frac{abc}{4S}\).

a равно \(\sqrt{3}\), b равно \(2\sqrt{6}\), и c равно \(\sqrt{3}\).

Найдем площадь треугольника с помощью формулы площади треугольника: \(S = \frac{1}{2}bh\), где b - длина стороны треугольника, а h - высота, опущенная на эту сторону.

Так как сторона AB является основанием, то высоту можно найти, зная площадь.

Поскольку у нас есть длина основания, равная \(\sqrt{3}\), и высота, равная радиусу, можно записать следующее соотношение:

\(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot R = S\)

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы можем использовать формулу площади треугольника.

Используя формулу площади треугольника \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\), где s - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны, мы можем найти площадь треугольника.

В этом случае, у нас есть только две стороны: \(\sqrt{3}\) и \(2\sqrt{6}\).

\(s = \frac{\sqrt{3} + 2\sqrt{6} + \sqrt{3}}{2}\)

\(s = \sqrt{3} + \sqrt{6}\)

Теперь, используя эту информацию, мы можем найти площадь треугольника:

\(S = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{3})(\sqrt{3} + \sqrt{6} - 2\sqrt{6})(\sqrt{3} + \sqrt{6} - \sqrt{3})}\)

\(S = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{6}) \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} \cdot 0 \cdot \sqrt{3}}\)

\(S = \sqrt{3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \sqrt{6}}\)

\(S = \sqrt{18 \cdot \sqrt{6}}\)

\(S = \sqrt{18} \cdot \sqrt{\sqrt{6}}\)

\(S = 3 \cdot \sqrt[4]{6}\)

Теперь, когда мы знаем площадь треугольника, мы можем найти радиус окружности:

\(R = \frac{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{4 \cdot 3 \cdot \sqrt[4]{6}}\)

\(R = \frac{6\sqrt{18}}{12 \cdot \sqrt[4]{6}}\)

\(R = \frac{\sqrt{18}}{2 \cdot \sqrt[4]{6}}\)

\(R = \frac{3 \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot \sqrt[4]{6}}\)

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен \(\frac{3 \sqrt{2}}{2 \sqrt[4]{6}}\).