Каков радиус окружности, на которую вписана трапеция ABCD, если ее большее основание AD, а стороны AB и AC равны

Чтобы найти радиус окружности, на которую вписана данная трапеция ABCD, мы можем использовать свойство вписанных углов. Когда окружность вписывается в трапецию, прямые, соединяющие точки касания окружности с основаниями трапеции, перпендикулярны.

Для начала рассмотрим отрезок AB, который является одним из оснований трапеции. Отрезок AB соединяет две точки касания окружности и основания трапеции. Так как эти две точки являются касательными, то отрезок AB будет перпендикулярен радиусу окружности в точке касания. Аналогично, отрезок AC также будет перпендикулярен радиусу окружности в точке касания.

Теперь мы можем нарисовать отрезки перпендикуляров к основаниям и прямоугольник, образованный ими и радиусом окружности. Давайте обозначим точку касания окружности с основанием AD как точку E.

Таким образом, у нас получился прямоугольник ADBE, где отрезки AB и AC являются высотами этого прямоугольника. Если мы обозначим радиус окружности как r, то AB и AC будут равны r.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABE, чтобы найти длину основания AD. Треугольник ABE - прямоугольный, и мы знаем, что AB = AC = r, а BE равно полусумме оснований трапеции AB и DC, то есть \(\frac{{AB + DC}}{2}\).

Таким образом, можем записать уравнение Пифагора:

\[AB^2 + BE^2 = AE^2\]

\[r^2 + \left(\frac{{AB + DC}}{2}\right)^2 = \left(\frac{{AD}}{2}\right)^2\]

\[r^2 + \left(\frac{{r + DC}}{2}\right)^2 = \left(\frac{{AD}}{2}\right)^2\]

Подставим известные значения: AB = AC = 10 см и DC = 24 см:

\[r^2 + \left(\frac{{r + 24}}{2}\right)^2 = \left(\frac{{AD}}{2}\right)^2\]

Теперь у нас есть уравнение с одной неизвестной (r), которую мы можем решить.

Решением этого уравнения будет радиус окружности, на которую вписана данная трапеция. Решение найдено!